《线性代数》课程复习大纲

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1、线性代数线性代数课程复习大纲与练习题课程复习大纲与练习题课程名称线性代数名称线性代数出版社清华大学出版社作者王萼芳 编著教 材 信 息版次2007.03第一章第一章 线性方程组线性方程组1.线性方程组的概念（1）线性方程组的一般形式： snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（2）用消元法判断线性方程组是否有解，并求出解2.初等变换对线性方程组进行求解（1）初等变换的定义（2）用初等变换将线性方程组化为同解的阶梯形方程组，从而判断是否有解3.用矩阵的秩判断线性方程组是否有解记称为线性方程组的系数矩阵; snssnnaaaaaaaaa

2、A212222111211称为线性方程组的增广矩阵 ssnssnnbaaabaaabaaaA21222221111211（1）线性方程组有解秩（A）秩（）A当线性方程组有解时：秩（A）未知量个数 n 时, 线性方程组有唯一解;秩（A）未知量个数 n 时，线性方程组有无穷多解。（2）线性方程组无解秩（A）秩（）A4.齐次线性方程组：常数项全为 0 的线性方程组 0) 1 (0 0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）解的情况：r(A)=n， （或系数行列式）只有零解；0Dr(A)n， （或系数行列式 D0）有无穷多组非零解。（2）解的结构

3、：。rnrncccX2211（3）求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。第二章第二章 向量空间向量空间1. 维向量的基本概念n向量是另一种描述事物形态的数量形式，由 个数构成的有序数组n称为一个 维向量,称这些数为它的分量.n2. 维向量的线性运算和线性组合n（1）向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全一样的运算规律；（2）向量组的线性组合:设是一组 维向量, s，21n是一组数,则称为的(以skkk,21ssxkkk211s，21为系数的)线性组合.它也是 维向量.skkk,21n

4、2.向量组的线性相关性（1） “向量是向量组的线性组合”或“向量可由向量组s,.,21线性表出”的定义s,.,21（2） “向量组可由向量组线性表出”， “向量组s,.,21t,.,21与向量组等价” s,.,21t,.,21（3）向量组线性相关的定义 s,.,21（4）向量组线性无关的定义s,.,21（5）两个判别法可由线性表出有解s,.,21ssxxx.2211线性相关（线性无关）有非零s,.,210.2211ssxxx解（只有零解）3.求向量组的一个极大线性无关组4.向量组的秩（1）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法 设 A()，将 A 化为阶梯阵，则 A 的秩即为向n

5、,21量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。5.子空间的定义，以及用线性无关的向量组生成向量空间6.向量的运算：（1）向量内积 ；nnbababa2211（2）向量长度22 22 1naaa（3）向量单位化；1（4）向量组的正交化（施密特方法）设线性无关，则n,21，11，122 112 ，。22133 2231113 第三章第三章 行列式行列式1行列式的定义用个元素组成的记号称为 n 阶行列式。2nijannnnnnaaaaaaaaa212222111211（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有 n!项，其中符号正负各半；2

6、行列式的计算（1）一阶行列式，二、三阶行列式有对角线法则；aa （2）N 阶（n 3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列） ，保保留一个非零元素，其余元素化为 0，利用定理展开降阶。（3）特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（4）行列式值为 0 的几种情况：行列式某行（列）元素全为 0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。3.用克拉默法则求解线性方程组的解：线性方程组的系数行列式不等于零。第四章第四章 矩阵矩阵1

7、矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等） ；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若 ABBA，称 A、B 是可交换矩阵） ；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若 A、B 为同阶方阵，则；BAABnkAkA3矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵） 。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义

8、：A、B 为 n 阶方阵，若 ABBAI，称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵（满足半边也成立） ；（2）性质： ，；111ABAB 11AA（3）可逆的条件： ； r(A)=n; 0AAI（4）逆的求解伴随矩阵法 ；*11AAA初等变换法 1AI施行初等行变换IA5用逆矩阵求解矩阵方程：，则；BAX BAX1，则；AXB 1 BAX，则CAXB 11CBAX第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量1定义 对方阵 A，若存在非零向量 X 和数 使AX X，则称 是矩阵 A 的特征值，向量 X 称为矩阵 A 的对应于特征值 的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程的根即为特征值，将

9、特征值 代入对应齐次线0 AI性方程组( I-A)X0 中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3重要结论：（1）A 可逆的充要条件是 A 的特征值不等于 0；（2）A 与 A 的转置矩阵有有相同的特征值；A（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。4.矩阵的相似（1）定义 对同阶方阵 A、B，若存在可逆矩阵 P，使，则BAPP1称 A 与 B 相似。（2）求 A 与对角矩阵相似的方法与步骤（求 P 和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则 A 可对角化（否则不能对角化） ，将这 n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵 P，依次将对应特征值构成

10、对角阵即为。（3）求通过正交变换 Q 与实对称矩阵 A 相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。5.二次型（1）定义 n 元二次多项式称为二次型，若 njijiijnxxaxxxf 1,21,，则称为二交型的标准型。jiaij 0（2）二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵 Q，即正交变换既是相似变换又是合同QQ1变换。（3）二次型或对称矩阵的正定性：定义；正定的充要条件：i.A 为正定的充要条件是 A 的所有特征值都大于 0；ii.A 为正定的充要条件是 A 的所有顺序主子式都大于 0；期末综合练习题

11、期末综合练习题客观部分：（单项选择、判断）一、单项选择题一、单项选择题1. 若BA,都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( D ).(A) TTTABAB)(. (B) 111)(ABAB.(C) ABAB)(. (D) 222)(ABAB. 参见课本 P116 矩阵的乘法，P122 转置、方幂，P132 逆矩阵 2. 若A为三阶方阵，将矩阵A第一列与第三列交换得矩阵B，再把 矩阵B的第二列加到第三列得矩阵C，则满足CAQ 的可逆矩阵Q为( C ).(A) 101001010. (B) 110001010. (C) 001011100 . (D) 100001110.参见课本 P113

12、、P132，矩阵的运算、变换，逆矩阵3.若BA,都是n阶方阵，且0B，0AB，则必有( C ). (A) 0B . (B) *0B . (C) 0TA. (D) 222)(BABA.参见 P113，矩阵的运算 4.已知向量组123, 的秩为 3，向量组1234, 的秩为 3，向量组1235, 的秩为 4，则向量组1234523, , , ，的秩为 （ B ） .(A) 3. (B) 4 . (C) 5. (D) 不能确定参见教材 P43，向量组的秩5. ( )()r Ar A b是非齐次线性方程组Axb有无穷多解的 ( B ). (A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 既非充分条件又非必

13、要条件. (D) 不能确定. 参见教材 P10，线性方程组有解判别定理6. 若向量组1(1,3,6,2)T，2(2,1,2, 1)T，3(1, 1, , 2)Ta的秩为 2， 则a为 ( B ). (A) 1. (B) -2. (C) 2. (D) -1. 参见教材 P43，向量组的秩7.设 A, B 为 n 阶方阵，且 r(A)=r(B)，则( D ).(A) 0)( BAr； (B) )(2)(ArBAr；(C) )(2)(ArBAr，； (D). )()()(BrArBAr，参考教材 P135-138 8.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是( A ). (A) 200120011. (B) 110 120 002 . (C) 110020001 . (D) 111 020 002 . 参见教材 P161 9.已知A是n阶可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵是( C ). (A) 1A. (B) 2A. (C) TA. (D) *A. 参考教材 P152，特征值与特征向量10. 设矩阵jijijijibabBaA2)(,)(4444且