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1、120172017 中考数学专题训练中考数学专题训练( (五五) )圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系类型类型 1 1 与圆的有关性质【例 1 1】如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1C.(1)求证：CBPD；(2)若BC3，sinP ，求O的直径3 5【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用
2、三角函数解决直径问题【学生解答】解：(1)CP，1C，1P，CBPD；(2)连接AC，AB为O的直径，ACB90.又CDAB，.PCAB.sinCABsinP ，即 .又BDBC3 5BC AB3 5BC3，AB5.O的直径为 5.针对练习针对练习1 1如图，A，B是O上的两点，AOB120，C是的中点AB(1)求证：AB平分OAC；(2)延长OA至P使得OAAP，连接PC，若O的半径R1，求PC的长解：(1)连接OC，AOB120，C是的中点，AOCBOC60.OAOC，ACO是等边三角AB形，OAAC.同理OBBC.OAACBCOB.四边形AOBC是菱形AB平分OAC；(2)C为中点，AB
3、AOB120，AOC60.OAOC，OAC是等边三角形OAAC，OAAP，APAC.APC30.OPC是直角三角形，PCOC.33类型类型 2 2 圆的切线的性质与判定2【例 2 2】如图，AB是O的直径，BC为O的切线，D为O上的一点，CDCB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为O的切线；(2)若BD的弦心距OF1，ABD30，求图中阴影部分的面积(结果保留)【解析】(1)证ODCABC90；(2)在RtOBF中，ABD30，OF1，可求得BD的长，BOD的度数，又由S阴影S扇形OBDSBOD，即可求解【学生解答】解：(1)连接OD，BC是O的切线，ABC90.CDCB，CBD
4、CDB.OBOD，OBDODB.ODCABC90，即ODCD.点D在O上，CD为O的切线；(2)在RtOBF中，ABD30，OF1，BOF60，OB2，BF.OFBD，BD2BF2，BOD2BOF120.S阴影S扇形OBDS33BOD 21.120 22 3601 234 33针对练习针对练习2 2(20162016 南充中考)如图，在RtABC中，ACB90，BAC的平分线交BC于点O，OC1，以点O为圆心OC为半径作半圆(1)求证：AB为O的切线；(2)如果tanCAO ，求cosB的值1 3解：(1)如图，作OMAB于M，OA平分CAB，OCAC，OMAB，OCOM，AB是O的切线；(2
5、)设BMx，OBy，则y2x21 ，cosB， ，x23xy2y ，由可以得到：BM OBBC ABx yy1 x3y3x1，(3x1)2x21，x ，y ，cosB .3 45 4x y3 53 3(20162016 常德中考)如图，已知O是ABC的外接圆，AD是O的直径，且BDBC，延长AD到E，且有EBDCAB.3(1)求证：BE是O的切线；(2)若BC，AC5，求圆的直径AD及切线BE的长3解：(1)如图， 连接OB，BDBC，CABBAD，EBDCAB，BADEBD，AD是O的直径，ABD90，OABO，BADABO，EBDABO，OBEEBDOBDABOOBDABD90，点B在O上
6、，BE是O的切线；(2)如图，设圆的半径为R，连接CD，AD为O的直径，ACD90，BCBD，OBCD，OBAC，OAOD，OFAC ，四边形ACBD是圆内接四边形，1 25 2BDEACB，DBECAB，DBECAB，DE ，OBEOFD90，DB ACDE BC35DE33 5DFBE， ，R0，R3，BE是O的切线，OF OBOD OE5 2 RRR35BE.DE AE3 5(2 33 5)3 1154 4如图，点O为RtABC斜边AB上一点，以OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分BAC；(2)若BAC60，OA2，求阴影部分的面积(结果保留)解：
7、(1)O切BC于点D，ODBC，ACBC，ACOD，CADADO，OAOD，OADADO，OADCAD，即AD平分BAC；(2)设EO与AD交于点M，连接ED.BAC60，OAOE，AEO是等边三角形，AEOA，AOE60，AEAOOD，又由(1)知，ACOD即AEOD，四边形AEDO是菱形，则AEMDOM，EOD60，SAEMSDMO，S阴影S扇形EOD.60 22 3602 3类型类型 3 3 圆与相似及三角函数综合4【例 3 3】如图，AB是O的直径，过点A作O的切线并在其上取一点C，连接OC交O于点D，BD的延长线交AC于点E，连接AD.(1)求证：CDECAD；(2)若AB2，AC2
8、，求AE的长2【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算【学生解答】解：(1)AB是O的直径，ADB90，ABDBAD90.又AC是O的切线，ABAC，即BAC90，CADBAD90，ABDCAD.ABDBDOCDE，CADCDE.又CC，CDECAD；(2)在RtOAC中，OAC90，OA2AC2OC2，即 12(2)22OC2，OC3，CD2.又由CDECAD，得，即，CE.AEACCE2.CD CECA CD2 CE2 222222针对练习针对练习5 5如图，AB是O的直径，CDAB于点G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交O于点E，CF FD1 3连接AD，DE，若CF2，AF3.(1)求证：ADFAED；(2)求FG的长；(3)求证：tanE.54解：(1)AB是O的直径，弦CDAB，DGCG，ADFAED，FADDAE(公共角)，ADACADFAED；(2) ，CF2，FD6，CDDFCF8，CGDG4，FGCGCF2；(3)CF FD1 3AF3，FG2，AG，tanEtanADG.AF2FG25AG DG54
