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1、120172017 中考数学专题训练中考数学专题训练( (五五) )圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一,占有较大的比重,通常结合三角形、四边形等知识综合考查,以计算题、证明题的形式出现,解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质,特别是切线的性质和判定,同时要注意已知条件之间的相互联系类型类型 1 1 与圆的有关性质【例 1 1】如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,点P在O上,1C.(1)求证:CBPD;(2)若BC3,sinP ,求O的直径3 5【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等;(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形,利用
2、三角函数解决直径问题【学生解答】解:(1)CP,1C,1P,CBPD;(2)连接AC,AB为O的直径,ACB90.又CDAB,.PCAB.sinCABsinP ,即 .又BDBC3 5BC AB3 5BC3,AB5.O的直径为 5.针对练习针对练习1 1如图,A,B是O上的两点,AOB120,C是的中点AB(1)求证:AB平分OAC;(2)延长OA至P使得OAAP,连接PC,若O的半径R1,求PC的长解:(1)连接OC,AOB120,C是的中点,AOCBOC60.OAOC,ACO是等边三角AB形,OAAC.同理OBBC.OAACBCOB.四边形AOBC是菱形AB平分OAC;(2)C为中点,AB
3、AOB120,AOC60.OAOC,OAC是等边三角形OAAC,OAAP,APAC.APC30.OPC是直角三角形,PCOC.33类型类型 2 2 圆的切线的性质与判定2【例 2 2】如图,AB是O的直径,BC为O的切线,D为O上的一点,CDCB,延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证:CD为O的切线;(2)若BD的弦心距OF1,ABD30,求图中阴影部分的面积(结果保留)【解析】(1)证ODCABC90;(2)在RtOBF中,ABD30,OF1,可求得BD的长,BOD的度数,又由S阴影S扇形OBDSBOD,即可求解【学生解答】解:(1)连接OD,BC是O的切线,ABC90.CDCB,CBD
4、CDB.OBOD,OBDODB.ODCABC90,即ODCD.点D在O上,CD为O的切线;(2)在RtOBF中,ABD30,OF1,BOF60,OB2,BF.OFBD,BD2BF2,BOD2BOF120.S阴影S扇形OBDS33BOD 21.120 22 3601 234 33针对练习针对练习2 2(20162016 南充中考)如图,在RtABC中,ACB90,BAC的平分线交BC于点O,OC1,以点O为圆心OC为半径作半圆(1)求证:AB为O的切线;(2)如果tanCAO ,求cosB的值1 3解:(1)如图,作OMAB于M,OA平分CAB,OCAC,OMAB,OCOM,AB是O的切线;(2
5、)设BMx,OBy,则y2x21 ,cosB, ,x23xy2y ,由可以得到:BM OBBC ABx yy1 x3y3x1,(3x1)2x21,x ,y ,cosB .3 45 4x y3 53 3(20162016 常德中考)如图,已知O是ABC的外接圆,AD是O的直径,且BDBC,延长AD到E,且有EBDCAB.3(1)求证:BE是O的切线;(2)若BC,AC5,求圆的直径AD及切线BE的长3解:(1)如图, 连接OB,BDBC,CABBAD,EBDCAB,BADEBD,AD是O的直径,ABD90,OABO,BADABO,EBDABO,OBEEBDOBDABOOBDABD90,点B在O上
6、,BE是O的切线;(2)如图,设圆的半径为R,连接CD,AD为O的直径,ACD90,BCBD,OBCD,OBAC,OAOD,OFAC ,四边形ACBD是圆内接四边形,1 25 2BDEACB,DBECAB,DBECAB,DE ,OBEOFD90,DB ACDE BC35DE33 5DFBE, ,R0,R3,BE是O的切线,OF OBOD OE5 2 RRR35BE.DE AE3 5(2 33 5)3 1154 4如图,点O为RtABC斜边AB上一点,以OA为半径的O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.(1)求证:AD平分BAC;(2)若BAC60,OA2,求阴影部分的面积(结果保留)解:
7、(1)O切BC于点D,ODBC,ACBC,ACOD,CADADO,OAOD,OADADO,OADCAD,即AD平分BAC;(2)设EO与AD交于点M,连接ED.BAC60,OAOE,AEO是等边三角形,AEOA,AOE60,AEAOOD,又由(1)知,ACOD即AEOD,四边形AEDO是菱形,则AEMDOM,EOD60,SAEMSDMO,S阴影S扇形EOD.60 22 3602 3类型类型 3 3 圆与相似及三角函数综合4【例 3 3】如图,AB是O的直径,过点A作O的切线并在其上取一点C,连接OC交O于点D,BD的延长线交AC于点E,连接AD.(1)求证:CDECAD;(2)若AB2,AC2
8、,求AE的长2【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似;(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算【学生解答】解:(1)AB是O的直径,ADB90,ABDBAD90.又AC是O的切线,ABAC,即BAC90,CADBAD90,ABDCAD.ABDBDOCDE,CADCDE.又CC,CDECAD;(2)在RtOAC中,OAC90,OA2AC2OC2,即 12(2)22OC2,OC3,CD2.又由CDECAD,得,即,CE.AEACCE2.CD CECA CD2 CE2 222222针对练习针对练习5 5如图,AB是O的直径,CDAB于点G,点F是CD上一点,且满足 ,连接AF并延长交O于点E,CF FD1 3连接AD,DE,若CF2,AF3.(1)求证:ADFAED;(2)求FG的长;(3)求证:tanE.54解:(1)AB是O的直径,弦CDAB,DGCG,ADFAED,FADDAE(公共角),ADACADFAED;(2) ,CF2,FD6,CDDFCF8,CGDG4,FGCGCF2;(3)CF FD1 3AF3,FG2,AG,tanEtanADG.AF2FG25AG DG54