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1、第二章 随机变量及其分布,Random Variable and Distribution,第一节 随机变量的概念与离散型随机变量,一、随机变量的概念,二、离散型随机变量,三、常见的离散型随机变量,一、 随机变量,通常，随机变量常用大写的英文字母X，Y，Z或,等表示,定义：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，并且变量的取值随着试验结果的不同而变化着，当试验结果确定后，它所取的值也就相应地确定，这样的变量称为随机变量(Random Variable ),1、随机变量的概念,例1 投掷一枚硬币，观察出现正反面的情形。,=正面，反面,(2) 令X表示正面(反面)出现的次数，则,X=0，1,则X是
2、一个随机变量,(1) 令X=,则X是一个随机变量,例2：一个袋中装有个2白球和3个红球，从中任取2个，观察所取两个球的颜色,=两个红球，一红一白，两个白球,令X表示2个球中白球(红球)的个数，则,X=0，1，2,则X是一个随机变量,例3 考察一个医院每天的就诊人数,=0，1，2，3，,令X表示一个医院每天的就诊人数，则,X=0，1，2，3，,则X是一个随机变量,例4 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 观察公交车站上乘客的等车时间,=0,5),令X表示公交车站上乘客的等车时间，则,X=t，0t5,则X是一个随机变量,2、随机变量的分类,通常分为两类：,随机变量,离散型随机变量,连续型随
3、机变量,所有取值有限个或 可以逐个一一列举,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不 能一一列举，而是 充满一个区间.,二、 离散型随机变量(discrete Random Variable),定义：如果随机变量X所有可能的取值只有有限个或可列无限个，则称X为离散型随机变量,1、离散型随机变量的定义,2. 离散型随机变量的分布律(列),例：抛掷一个骰子, 用X表示骰子向上一面的点数, 则X可能取的值有,此表从概率的角度指出了随机变量X在随机试验中取值的分布情况.,1,2,3,4,5,6.,定义：设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,并设,则称上式或表格,为离散型随机变量 X 的分布律(分布列),注
4、：分布律的常见表示方法：,表格法：,数学式子法,3、离散型随机变量分布律的性质:,4、例子,例5：设随机变量X具有分布律,试确定常数,解: 由离散型随机变量分布律的归一性知,解得,例6：盒中有12只晶体管，其中有2只次品，10只正品，现从盒中任取3只，求取出的3只所含次品数 的分布律。,解：(1),的可能取值为0，1，2,故，,的分布律为,三、几种常见的离散型随机变量,1.(01)分布,只可能取0与1两个值，分布律为,称 服从（01）分布。,（01）分布用来描述只有两个结果的随机试验。,2. 二项分布(the Binomial Distribution),我们关心的是,例如： 某种产品的合格率
5、为0.95，从中任取50件， 以X表示其中合格品的件数，则,10台同型号的机器，每台任意时刻正常工作的概率为0.80，机器工作相互独立，,以Y表示某时刻机器正常工作的台数,例7 连续不断地掷一枚均匀硬币, 问至少掷多少次才,能使正面至少出现一次的概率不小于0.99 ?,解 设需投掷n次, A表示“正面朝上”，则P(A)=1/2 ,在n次投掷中A出现的次数为 X ,则 XB(n, 0.5) ,(01)分布与二项分布的关系,注：n=1时，二项分布就是（01）分布,3.泊松分布,泊松分布是1837年法国数学家西莫恩-德尼-泊松（Poisson S.D.）首次提出的.,泊松分布的参数是单位时间(或单位
6、面积)内随机事件的平均发生率。,1、定义,实际中的泊松分布,电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼叫次数,某路段一个月内发生的交通事故的次数,车站某时段等车人数,医院每天的就诊人数,一个时间间隔内某放射性物质发出的、经过计数器的粒子数,商店某种商品的月销售量,例1：设随机变量X服从参数为的Poisson分布，且已知,解：随机变量 X 的分布律为,由已知,得,由此得方程,得解,所以，,例2：某商店某种商品日销售量X(6),试求以下事 件的概率,(1)日销售3件的概率；,(2)日销量不超过2件，10件的概率；,2、Poisson分布与二项分布的关系,泊松定理,4、超几何分布:,定义2.6:,作业：
7、 P341 5,第四节 随机变量的分布函数,一、分布函数的定义,二、离散型随机变量的分布函数,三、分布函数的性质,问题的提出：对于离散型随机变量，可用其概率分布 来刻划其统计规律性。对于非离散型的随机变量，如何描述其取值及其取值规律性呢？,由于讨论非离散型随机变量X取单个值的概率没有 意义(将在后面论述)，故讨论其落入某一个区间的概率。,尽管区间的类型有(a, b), (a, b, a, b), a, b, (-, b), (-, b, (a,+), a,+) 等8类，但区间(-, b是有代表意义的，故考虑概率PXx ,对于 xR ，概率PXx存在且为x的函数，这个函数称为随机变量X的分布函数
8、。,一、分布函数的定义,定义：,(1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是自变量.,(2) F(x) 是r.v. X取值不大于 x 的概率.,(3) 对任意实数 x1x2，随机点落在区间( x1 , x2 内 的概率为：,P x1X x2,因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,= F(x2)-F(x1),请注意 :,例1,设 随机变量 X 的分布律为,求(1) X 的分布函数 F (x) .,二、离散型随机变量的分布函数,(2) P(X1.5), P(1X4), P(1 X4),当 x0 时， X x = ，故 F(x) =0,当 0 x 1 时，
9、F(x) = PX x = P(X=0) =,当 1 x 2 时，F(x) = PX=0+ PX=1= + =,当 x 2 时，F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 1,故,(2) P(X1.5)=F(1.5)=1/2,P(1X4)=F(4)-F(1)=1-1/2=1/2,P(1 X4)=F(4)-F(1)+ P(X=1)=1/2+1/6=2/3,设离散型 r .v X 的分布律是,P X=xk = pk , k =1,2,3,n,一般地,则其分布函数,的分布函数图,下面我们从图形上来看一下.,例2：设随机变量X的分布函数为,求X的分布律,解：,三、分布函数的性质,1、单调不减
10、性：若x1x2, 则F(x1)F(x2);2、对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.,试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.,例3 设有函数 F(x),解 ： 注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.,或者,例4,设随机变量X的分布函数为,解：由分布函数的性质，我们,F(x)=A+Barctanx , (-x+ ),解方
11、程组,得解,今日作业：P34：1 5,第三节 连续型随机变量及其概率密度,一、连续型随机变量的定义,二、性质,三、常见的连续型随机变量,一、连续型随机变量的定义,设X为连续型随机变量, 则对任意的实数ab,即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线t=a,t=b及t轴所围面积.,二、 密度函数的性质,连续型随机变量的密度函数有如下性质：,5. 连续型随机变量的分布函数是连续函数,例1:试确定常数a,使,为某个随机变量X的概率密度,解: 因,所以a =2.,故,解,f(x) 的图形如图,从而得,课堂练习:设随机变量X的分布函数为,求:(1) 概率P(0.3X0.7) (2)X的密度函数f(x
12、),1、均匀分布,三、常见的连续型随机变量,(2) XUa,b时,分布函数为,与c的取值无关.,此时，可以认为随机变量在区间a,b上等可能的取值,解 客车停靠时间TU12:10,12:45,其密度函数为,所求概率为,例7:设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900欧至1100欧.求R的概率密度及R落在950欧至1050欧的概率.,解 R的概率密度为,故有,2、指数分布,指数分布的分布函数为,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布 常作为各种“寿命”分布的近似,解（1）,（2）,（3）,作业：P34 7 12,3
13、、正态分布,(1)定义,应用场合,用正态分布描述的实例有：,产品的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高、体重,测量误差,农作物的产量 等等,正态分布图形特征,(2)一般正态分布概率的计算,证,令,于是,解,解,解,所以,查表得,从而,由,知,查表得,从而,作业：P34-358 13,第四节 随机变量函数的分布,二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,一、问题的提出,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,比如， 已知圆轴截面直径 d 的分布，,的分布。, 在统计物理中,已知分子的运动速度X的分 布,求其动能：,设随机
14、变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,85,二、离散型,例1：已知X 的分布律为,86,解：分布律的两个要素： 的可能取值和取每个值的概率。 的可能取值为0，1，4,即的分布律为,离散型随机变量函数的分布的求法，可采用点到点 的对应分析法.,87,课堂练习：已知X 的分布律为,88,解： 的可能取值为-3，-1，3，9,即的分布律为,三、连续型,分布函数法,89,例2：设随机变量X 具有概率密度,求随机变量2X8的概率密度。,(1) 求Y的分布函数 FY(y),(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y),90,解：分别记X，的分布函数为,解,先求分布函数 FY (y)。,所以，,当 时，,当 时，,所以，,推论,定理,正态分布的线性函数仍服从正态分布,正态分布的标准化,解 X的取值范围为(0,1), 从而Y的取值范围为(1,3),当1y3时,Y的分布函数为,由于x0时，,从而,当1y3时,当y3时,当y1时,则Y的密度函数为,作业：P3620(分布函数不做)、23,
