理论力学第二章压缩

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1、第二章 轴向拉伸、压缩,工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。,屋架结构简图,2-1 概述,桁架的示意图,受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆,（未考虑端部连接情况）,轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。,轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。,一、拉压杆的内力,设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,欲求杆件 横截面 mm 上的内力.,22 轴力与轴力图,在求内力的截面m-m 处,假想地将杆截为两部分.,取左部分部分作为研究对象.弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替,合力为FN .,1.

2、截面法,（1）截开,（2）代替,对研究对象列平衡方程,FN = F,式中：FN 为杆件任一横截面 mm上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为轴力,（3）平衡,2.轴力符号的规定,m,F,F,（1）若轴力的指向背离截面， 则规定为正的,称为拉力,（2）若轴力的指向指向截面， 则规定为负的,称为压力,（2）轴力的符号规定：原则根据变形,压缩压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。,拉伸拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。,二、轴力图,用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图 . 将正的轴

3、力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧.,反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。,FN,x,意义,例 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max,| FN |max=100kN,FN2= -100kN,FN1=50kN,变形前,1）变形规律试验及平面假设：,受载后,22 拉压杆的应力 一、拉（压）杆横截面上的应力,变形规律：,横向线仍为平行的直线，且间距增大。,纵向线仍为平行的直线，且间距减小。,应力的计算公式：,由,可得,由于“均布”，可得,轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式,平面假设：变形前的横截面，变形后仍为

4、平面且各横截面沿杆轴线作相对平移,应力的分布规律均布,正应力的符号规定同内力,拉伸拉应力，为正值，方向背离所在截面。,压缩压应力，为负值，方向指向所在截面。,拉压杆内最大的正应力：,等直杆：,变直杆：,公式的使用条件,(1) 轴向拉压杆,(2)除外力作用点附近以外其它各点处。（范围：不超过杆的横向尺寸）,(1) 公式中各值单位要统一,注意的问题,(2) “FN”代入绝对值，在结果后面可以标出“拉”、“压”。,【例2.2】如2.6a所示阶梯形圆截面杆，同时承受轴向荷载和作用。试计算杆的轴力与横截面上的正应力。,解：1.轴力计算 轴力图如图2.6b所示。,2.应力计算,二、 拉压杆斜截面上的应力,

5、变形假设：平面假设仍成立。 推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，仍均匀分布。,1、斜截面上应力确定,(1) 内力确定：,(2)应力确定：,应力分布均布,应力公式,FN=FN=F。,2、符号规定,、：斜截面外法线与x轴的夹角。,x 轴正向逆时针转到 n 轴“”规定为正值； x 轴正向顺时针转到 n 轴“”规定为负值。,应力正负号规定：正应力拉应力为正，压应力为负切应力自外法线 n 顺时针转向它，为正；逆时针为负,4、最大值的确定,3、说明：,计算时“”、“”、“”连同它们的符号代入。,（3）、结论,当构件所用的材料抗正应力的能力差时，构件就沿横截面发生破坏；（由最大正应力引起的）； 当构

6、件所用的材料抗切应力（剪应力）的能力差时，构件就沿 450 斜截面发生破坏；（由最大切应力引起的）；,三、圣维南（Saint-Venant）原理：,圣维南（Saint-Venant）原理：,如用与外力系静力等效的合力来代替原力，则除了原力系起作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处，上述代替的影响就非常微小，可以不计。,2-4 材料拉伸与压缩时的力学性能,力学性能(机械性质)：材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性,一、试验条件：常温静载。,二、试验准备：,1、试件国家标准试件。,拉伸试件两端粗，中间细的等直杆。,压缩试件很短的圆柱型：h=(1.53.0)d,圆形截面：L=10d

7、;L=5d。矩形截面：L=11.3 ;L=5.65,1、拉伸试验与应力应变图,2、设备液压式万能材料试验机。,WDS-100电子万能试验机的实际构造,拉伸图 ( F- l 曲线 ),拉伸图与试样的尺寸有关. 为了消除试样尺寸的影响，把 拉力F除以试样的原始面积A， 得正应力；同时把 l 除以标距 的原始长度l ，得到应变.,表示F和 l关系的曲线， 称为拉伸图,应力应变图：表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图（-曲线）,1、弹性阶段ob,比例极限,弹性极限 E称为弹性模量,2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）,屈服极限,3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）,强度极限,4、局部变形阶段

8、ef （颈缩阶段）,它是衡量材料强度的一个指标,它是衡量材料强度的另一个指标,现象：滑移线 45o时， max=/2,衡量强度的两个重要指标,屈服极限,强度极限,两个塑性指标:,断后伸长率,断面收缩率,为塑性材料,为脆性材料,低碳钢的,为塑性材料,区分塑性材料和脆性材料：以常温静载下的大小。,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限0.2来表示。,2其它材料拉伸时的力学性能,b拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。 应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很小且b很低。,3铸铁拉伸时的力学性能,3、 材料压缩时的力学性能,压缩的实验结果表明,低碳钢

9、压缩时的弹性 模量E、屈服极限s都与拉 伸时大致相同.屈服阶段后，试件越 压越扁，横截面面积不 断增大，试件不可能被 压断，因此得不到压缩 时的强度极限.,（1）. 低碳钢压缩,拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。,灰铸铁的 拉伸曲线,灰铸铁的 压缩曲线,压缩的强度极限远大于拉伸的强度极限。破坏面大约为450的斜面（由最大切应力认起的）。塑性差。其它脆性材料压缩时的力学性质大致同铸铁，工程上一般作为抗压材料。,2. 铸铁压缩,思考题,用这三种材料制成同尺寸拉杆， 请回答如下问题：,哪种强度最好？,哪种弹性模量最大？,哪种塑性最好？,2-5 拉压杆的强度计算 一、失效与许用应力 对于拉压杆，学习了

10、 应力计算 力学性能如何设计拉压杆？ 安全，或 不失效 失效：由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。 （1）塑性屈服：塑性材料的极限应力s （2）脆性断裂 脆性材料的极限应力b,定义：极限应力、许用应力,、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而不能安全工作时的最小应力值。“jx”（u、0）,、许用应力：构件安全工作时的最大应力。“”,（其中n为安全系数值1）,安全系数取值考虑的因素：,（1）给构件足够的安全储备。,（2）理论与实际的差异。,（1）塑性材料：,（2）脆性材料：许用拉应力,其中，ns对应于屈服极限的安全因数,其中，nb对应于拉、压强度的安全因数,许用压

11、应力,关于安全因数的考虑,（1）理论与实际差别：考虑极限应力(ss，s0.2，sb，sbc) 、横截面尺寸、荷载等的变异，以及计算简图与实际结构的差异。,（2）足够的安全储备：使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。,安全系数n的取值：安全系数是由多种因素决定的。可从有关规范或设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为1.52.2；对于脆性材料通常取为3.0 5.0，甚至更大。,二、强度条件：,等直杆：,变直杆：,三、强度条件可以解决的问题：,（1）、校核强度已知：F、A、。求：,（2）、设计截面尺寸已知：F、。求：A,解：,（3）、确定外荷载已知：、

12、A。求：F。,FNmaxA。 F数值,例 图示空心圆截面杆，外径D20mm，内径d15mm，承受轴向荷载F20kN作用，材料的屈服应力s235MPa，安全因数n=1.5。试校核杆的强度。,解：,可见，工作应力小于许用应力，说明杆件安全。,已知：三角架 ABC 的=160 MPa，AB 杆为 2 根 80*80*7 的等边角钢，面积为10.86cm2，AB、AC 两杆的夹角为300 ,外力F=130KN。,求：校核AB杆的强度,x,y,FNAC,FNAB,300,F,2、校核强度,因此，AB杆强度足够,x,y,FNAC,FNAB,300,F,例 已知简单构架：杆1、2截面积 A1=A2=100

13、mm2，材料的许用拉应力 st =200 MPa，许用压应力 sc =150 MPa,试求：载荷F的许用值 F,解：1. 轴力分析,2. 利用强度条件确定F,（A1=A2=100 mm2，许用拉应力 s t =200 MPa，许用压应力 s c =150 MPa）,2-5 拉压杆的变形及刚度计算,一、概念,1、纵向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。,2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。,二、分析两种变形,（1） 纵向变形,E为弹性摸量,EA为抗拉刚度,-胡克定律,当轴力为x的函数时 N=N(x),当各段的轴力为常量时,使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。,使用公式的时，轴力一定要代入其正、负号。,

14、（2) 横向变形,钢材的E约为200GPa，约为0.250.33,泊松比-力学性能的重要常数,横向应变,例2-6 图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E，试计算D点的位移。,解：,例 2-7 图示杆系，荷载 F=100kN, 求结点A的位移A。已知两杆均为长度l =2m，直径d =25mm的圆杆， =30，杆材(钢)的弹性模量E = 210GPa。,解：1、求两杆的轴力。,得,2、由胡克定律得两杆的伸长：,根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。,3、计算节点位移,此位置既应该符合两杆间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。,关键步骤如何确定杆系变形后结点A的位置？,A,即,由变

15、形图即确定结点A的位移。由几何关系得,代入数值得,节点A的位移（以切代弧）,例：求节点A的位移。,2-7 应力集中的概念,开有圆孔的板条,因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为 应力集中,带有切口的板条,理论应力集中系数,发生应力集中的截面上的最大应力,同一截面上按净面积算出的平均应力,K1 截面尺寸改变越急剧，角越尖、口越小，应力集中越严重 因此，零件应尽可能避免尖角、圆孔 如果有圆弧半径大一些,应力集中对构件强度的影响,塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：,荷载增大进入弹塑性,极限荷载,均匀的脆性材料或塑性差的材料(如高强度钢)制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。,非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应力集中。,塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力集中的影响。,2-6 简单拉压超静定问题,一、概念,1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力静定问题,2、超静定：结构或杆件的未知力个数多于有效静力方程的个数，只利用静力方程不能求出所有的未知力超静定问题,