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1、2018年9月26日星期三,1,邱关源第五版全部课件 ,2018年9月26日星期三,2,第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱131 非正弦周期信号132 非正弦周期函数分解为傅里叶级数133 有效值、平均值和平均功率134 非正弦周期电流电路的计算 *135 对称三相电路中的高次谐波 *136 傅里叶级数的指数形式 *137 傅里叶积分简介,2018年9月26日星期三,3,第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱,讲授的主要内容,1. 非正弦周期信号及其分解复习傅里叶级数； 2. 非正弦周期信号的频谱、平均值、有效值、平均功率的概念和计算； 3. 非正弦周期信号稳态电路的分析法谐波分析法
2、； 4. *对称三相电路的高次谐波。 5. ,2018年9月26日星期三,4,基本要求,了解周期函数分解为傅里叶级数的方法和信号频谱的概念。,理解周期量的有效值、平均值的概念，掌握周期量有效值的计算方法。,掌握非正弦周期电流电路的谐波分析法和平均功率的计算，了解滤波器的概念。,重点,非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；,非正弦周期电流电路的平均功率；,非正弦周期电流电路的计算方法(叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理)。,2018年9月26日星期三,5, 难点,叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用；,非正弦周期电流电路功率的计算。,本章与其它章节的联系,本章主要讨论在非正弦周期电流、电压
3、信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。,非正弦周期信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和，每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容的综合。,2018年9月26日星期三,6,13-1 非正弦周期信号,实践中会碰到许多非正弦信号，原因有 1. 激励本身是非正弦信号；交流发电机的电压严格地说是非正弦量，在电子信息、通信工程、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正弦信号。 2. 电路中含有非线性元件 (如整流电路等)。,非正弦信号有周期性和非周期性之分。 周期信号满足 f(t) = f(t+kT) 当 f(t) 不是单一频率的正弦波时
4、，它就是非正弦周期信号。,2018年9月26日星期三,7,实践中常见的非正弦周期信号,方波,锯齿波,尖顶脉冲,T,全波整流,数字电路、计算机的CP等,通过显像管偏转线圈的扫描电流,晶闸管的触发脉冲等,桥式或全波整流电路的输出波形,2018年9月26日星期三,8,实践中常见的非正弦周期信号（续）,尖顶波,正弦电压在铁心线圈中产生的电流波形,三角波,PWM调制器的时间基准信号波形,半波整流,阶梯波,由数字电路或计算机产生的正弦信号,半波,2018年9月26日星期三,9,13-2 周期函数分解为傅里叶级数,1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里赫利条件”
5、，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。,系数a0、 ak、 bk 分别为：,f(t),= a0+,akcos(kw1t) + bksin(kw1t),k=1,a0=,T,1,0,T,f(t) dt,ak=,T,2,0,T,f(t) cos(kw1t) dt,bk=,T,2,0,T,f(t) sin(kw1t) dt,2018年9月26日星期三,10,根据给定 f(t) 的形式，积分区间也可以改为：,积分区间也可以是 02p 或 -pp ，例如：,对 a0、bk也作同样的处理。,-,2,T,2,T,2018年9月26日星期三,11,展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对比时不方便，而且数a
6、k、bk的意义也不明确。将展开式合并成另一种形式余弦级数：令 ak= Akmcosfk bk=-Akmsinfk,则 f(t) = A0+,k=1,Akmcos (kw1t +fk),式中：,Akm=,ak,2,+ bk,2,fk = arctg,ak,-bk,2018年9月26日星期三,12, A0 是 f(t) 的恒定分量，,或称为直流分量。, k=1的项 Amcos(w1t +f1)具有与 f(t) 相同的频率，称基波分量。基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。 k2的各项，分别称为二次，三次谐波等。 或统称高次谐波。,2018年9月26日星期三,13,2. 非正弦周期信号
7、的频谱,f(t)中各次谐波的幅值和初相不同，对不同的f(t)，正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。 振幅频谱： f(t)展开式中Akm与w (=kw1)的关系。反映了各频率成份的振幅所占的“比重”。 因k 是正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。 相位频谱：指f k与w 的关系。,2018年9月26日星期三,14,锯齿波的振幅频谱图, 今后若无说明，均指振幅频谱。,i(t) =,p,2I,cos(w1t-90o) +,cos(2w1t+90o) +,cos(3w1t-90o) +,cos(4w1t+90
8、o) + ,锯齿波的傅里叶级数展开式为,2018年9月26日星期三,15,3. 波形特征及其与级数分解的关系,(1)若f(t)为“镜”对称满足 f(t) = - f(tT/2),则a2k = b2k = 0即展开式中 无直流分量； 不含偶次谐波。,移动半个周期，得另半个周期的镜像,知A0是f(t)在一个周期内与横轴围成的面积。,所以即使f(t)不是“镜”对称，,只要它的正、负半周与横轴围成的面积相等，,就有A0=0。,另外，对某些 f(t)，求A0时也可以不用积分。,由,2018年9月26日星期三,16,(2) 若f(t)是偶函数,即满足 f(t)= f(-t)则 bk= 0 。,(3) 若f
9、(t)是奇函数即满足 f(-t) = - f(t),则 ak= 0，只求bk即可：,2018年9月26日星期三,17,(4) 若f(t)为半波对称,即满足f(t) = f(tT/2)则a2k+1 = b2k+1 = 0展开式中不含奇次谐波。,对某些f(t)，适当移动纵坐标(另选一个计时起点)，就变为偶函数或奇函数。Akm与计时起点无关，由于ak、bk与计时起点有关，所以fk与计时起点有关。但各次谐波的相对位置不变。 也可以先移坐标轴，待求得系数后，再找到原函数的系数。,T是整流电源周期,2018年9月26日星期三,18,例1,解：f(t)是奇函数， ak= 0 所以只需求bk即可。,结果见教材
10、P320。,求右图方波的傅里叶级数展开式及频谱。,=,0,k 为偶数,kp,4Em,k 为奇数,若将坐标右移T/4,则新旧函数的关系为：,f(t),= f1(t1),bk =,p,2,0,Em sin(kw1t)d(w1t),p,=,2Em,kp,1-cos(kp),= f1 t-,4,T,2018年9月26日星期三,19,由对称性可知： A0= 0， bk= 0。,k 为偶数，ak= 0 。,k 为奇数，,f1(t1) =,或者：,ak =,p,2,0,Emcos(kw1t1)d(w1t1),p,0,Emcos(kw1t1)d(w1t1),p,(-Em)cos(kw1t1)d(w1t1),+
11、,=,kp,4Em,sin,2,kp,ak =,kp,4Em,(-1),p,4Em,cos(w1t1)-,3,1,cos(3w1t1)+,5,1,cos(5w1t1) + ,f1(t1) =,p,4Em,S,k=1,(-1) k-1,2k -1,1,cos(2k-1)w1t1,2018年9月26日星期三,20,若需要写 f(t) 的展开式，,f(t),= f1 t-,f(t) =,p,4Em,cos(w1t -,4,w1T,) -,3,1,cos(3w1t -,4,3w1T,) + ,因 w1T= 2p 所以 w1T/4 = p/2,f(t) =,p,4Em,sin(w1t) +,3,1,si
12、n(3w1t) +,5,1,sin(5w1t) +,2018年9月26日星期三,21,理论上，一个收敛的傅里叶级数要取无穷多项，才能准确代表原函数。,13次， 1.05Em ； 35次， 0.98Em 。,分析时还应考虑频率响应。如：在某个(些)频率下可能发生谐振等。,取前3项的情况,实用中，根据展开式的收敛速度和误差要求取前几项，高次谐波可以忽略。,方波的展开式收敛速度比较慢：,在w1t =p /2时，取到11次谐波，f(p /2) 0.95Em ；,2018年9月26日星期三,22,13-3 有效值、平均值和平均功率,1. 有效值,当給出的电流(或电压)是波形或不是展开式时，用定义式直接计
13、算。 为了找出有效值与各次谐波的关系，将展开式代入定义式积分。,I =,T,1,0,T,i2(t)dt, 回忆三角函数的性质：, sin、cos、sin2、cos2 在,一个周期内的积分为0；, 正交性质 (kq),T,1,0,2p,coskwt sinqwt d(wt)=0,0,2p,T,1,coskwt cosqwt d(wt)=0,0,2p,T,1,sinkwt sinqwt d(wt)=0,2018年9月26日星期三,23,设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数：,i2 = I0,2,+2I0,S,k=1,Ikm cos(kw1t+fk) + ,k=1,S,Ikm cos(kw1t +f
14、k)2,积分结果为零,积分结果为零,2cos2a =1+cos2a,该项的积分结果为：,第一项的积分结果为：,该项可化为(kq),2018年9月26日星期三,24,非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为,对非正弦周期电压,当給出的电流或电压是展开的级数形式时，可分别用以上两式计算。,周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。 此结论可以推广用于其他非正弦周期量。,2018年9月26日星期三,25,2. 平均值, 对同一非正弦量进行测量时，不同类型的仪表有不同的结果：,Uav,T,1,0,T,| i | dt,直流仪表(磁电系仪表)表针的偏转角,所以测量结果,0,T,i dt,
15、a,是恒定分量A0。,交流仪表(电磁系仪表)表针的偏转角,所以测量结果,0,T,i2 dt,a,是有效值。,全波整流(磁电系)仪表表针的偏转角,所以测量结果,0,T,| i | dt,a,是平均值。,2018年9月26日星期三,26,3. 平均功率,Uk 、Ik是第k次谐波的有效值。 jk是第k次谐波电流与电压的相位差。,P =,T,1,0,T,ui dt,P = U0 I0 +,k=1,Uk Ikcosjk,因电流与电压的参考方向关联，故一端口吸收的瞬时功率为 p=ui。,所以平均功率为,积分结果为,2018年9月26日星期三,27,13-4 非正弦电流电路的计算,分解；,计算；,叠加。,把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解。,利用直流和正弦交流电路的计算方法，对直流和各次谐波激励分别计算其响应。,将以上计算结果转换为瞬时值迭加。,注意,交流各次谐波电路计算可应用相量法，迭加时必须用瞬时值；,L、C 对直流分量、各次谐波分量的“态度”是不同的：,XkL= kwL,XkC=,kwC,1,2018年9月26日星期三,28,例2,uS = 10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t)+28.28 cos(5w1t)+20.20 cos(7w1t)+15.71 cos(9w1t) + V, 试求 i 和P。,
