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1、,第五节 两角和与差的正弦、余弦和 正切公式,辅助角公式：,一、温故知新,二、二倍角公式的变形,升幂公式,降幂公式,一、温故知新,二倍角公式,二倍角公式中的sin2,cos2能否用tan来表示？提示:能.,1.cos33cos87+sin33cos177的值为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选B.cos33cos87+sin33cos177 =cos33sin3-sin33cos3 =sin(3-33)=-sin30= .,2.已知tan(+)=3,tan(-)=5,则tan2=（ ） (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.tan2=tan(+)+(-),3.如果cos
2、2-cos2=a，则sin(+)sin(-)等于 （ ） （A） （B） （C）-a （D）a 【解析】选C.sin(+)sin(-) =(sincos+cossin)(sincos-cossin) =sin2cos2-cos2sin2 =(1-cos2)cos2-cos2(1-cos2) =cos2-cos2=-a.,1.cos33cos87+sin33cos177的值为 2.已知tan(+)=3,tan(-)=5,则tan2=（ ）,4.若 则2sin2-cos2=_.,若 则 =_.,4.若 则2sin2-cos2=_. 【解析】由 得， 2+2tan=3-3tan,答案:,5.化简：
3、=_. 【解析】答案:,1.两角和与差的三角函数公式的理解 (1)正弦公式概括为“正余，余正符号同” “符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“+”号； 前面是两角差，则后面中间为“-”号. (2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”.,(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令=可得. 特别地，对于余弦:cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现. 2.弦切互化公式 对于弦切互化 有时也起到 简化解题过程的作用.,三角函数式的化简 【例1】化简下列各式： (1)【审题指导】对于含有根式的三角函数，化简
4、一般采用倍角公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公式将常数化掉.,【自主解答】(1)原式因为0，所以 所以 所以原式=-cos.,【规律方法】三角函数的给角求值或化简，所给角往往是非特殊角.解决的基本思路是：,三角函数的求值 【例2】(2011东城模拟)已知-2cos+sin=0，(, ). (1)求sin(+ ); (2)求tan(+ ). 【审题指导】由已知结合同角三角函数关系式可得sin, cos,tan,从而再利用两角和的公式可得（1）（2）.,【自主解答】(1)由-2cos+sin=0即sin=2cos. 又sin2+cos2=1得 又(, ),(2)由（1）可得tan
5、=2，,已知cos(+)+cos(-)= sin(+)+sin(-)= 求(1)tan;,【规律方法】三角函数的求值是三角变换中常见题型，它分为非条件求值（特殊的化简）和条件求值. 条件求值中又有给值求值和给值求角，此类问题的关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差. (2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.,(3)对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有： = =(+)-=-(-) = (+)+(-)，对于给值求角，关键是求该角的某一个三角函数值，再根据范围确定角.,【互动探究】若将本例中的范围修改为(0, ),则如何
6、求cos( -2)和sin( -2)? 【解析】由本例可得: 又(0, ), 故,【变式训练】已知0 ，且cos(- )=求cos(+)的值. 【解析】0 0)的最 小正周期为 (1)求的值； （2）若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移 个 单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.,【审题指导】本例可将原函数平方展开,利用同角三角函数基本关系式及倍角公式和两角和与差的逆用化为一个角的一个三角函数，再利用周期可求，利用图象变换可求g(x)的单调增区间.,【规范解答】(1)f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx +1+cos2x=sin2x+cos2x+2 = s
7、in(2x+ )+2,依题意得 故 (2)依题意得由 解得 故g(x)的单调增区间为,【规律方法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及 二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用 这些公式，先把函数解析式化为y=Asin(x+ )的形式，再 进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.,【变式备选】已知f(x)=sin2x(0)的最小正周期为.求函数f(x)在区间 上的值域. 【解析】 = - cos2x，其周期为. =1.f(x)=- cos2x+ . 当x0, 时，2x0, . cos2x-1,1.f(x)0,1.,【变式训练】已知函数 (0)的最
8、小正周期为. (1)求f(x); (2)当x 时，求f(x)的值域.,三角函数、三角恒等变换的综合问题 【典例】（2010湖南高考）已知函数 (1)求函数f(x)的最大值； (2）求函数f(x)的零点的集合. 【审题指导】由已知利用降幂公式及将函数化为同一个角的三角函数，而后求解即可得结果. 第(2)问可解方程求解.,两角和与差及倍角公式解答题的答题技巧 【典例】（12分）（2010北京高考）已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x. (1)求 的值； (2)求f(x)的最大值和最小值. 【审题指导】利用倍角公式展开和同角三角函数关系转化求解，也可利用倍角公式逆用转化求解.,【规范解答】方
9、法一:4分 (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x) =3cos2x-1,xR. cosx-1,1,cos2x0,1，10分 当cosx=1时,f(x)max=2. 当cosx=0时，f(x)min=-1. 12分,方法二:(1)由f(x)=2cos2x+sin2x得 4分 (2)xR,cos2x-1,1.9分12分,【失分警示】本题考查二倍角公式的正用、逆用及其性质，属容易题，掌握好公式是关键，其失分原因主要有：一是特殊角的三角函数值记不清，二是运算错误造成失分. 解决此类问题的失分点主要是： 1.不能对所给函数式准确化简造成失分. 2.求最值或取值范围问题忽略相应变量的取
10、值范围造成失分.,【变式训练】已知函数f(x)=sin2x+ sinxsin(x+ ) (0)的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数f(x)在区间0， 上的取值范围.,【解析】,函数 的最小正周期是_.,2.（2010全国）已知 则cos(-2)=（ ）(A) (B) (C) (D),已知为第二象限角， 则tan2=_.,1.(2011福州模拟)将函数 的图象向左平移m个单位(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.由 向左平移m个 单位后得g(x)=2sin(x- +m),若g(x)是偶函数,则m- = k+ (kZ)
11、, m=k+ (kZ),mmin= .,2.(2010陕西高考)对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是( ) (A)f(x)在 上是递增的 (B)f(x)的图象关于原点对称 (C)f(x)的最小正周期为2 (D)f(x)的最大值为2 【解析】选B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,其增区间为kZ且f(x)是奇函数,图象关于原点对称，最小正周期T=，f(x)max=1,故选B.,3.(2011银川模拟)已知 且sin-cos1,则sin2=（ ）【解析】选A.sin= sin-cos1,cos0, 在第二象限，,4.(2011长沙模拟)已知cos( -)= ,则 的值为( )【解析】选B.,5.(2011南通模拟)满足 的锐角x=_. 【解题提示】利用两角和的余弦公式的逆用化为一个角的三角函数后解方程可得. 【解析】由题意知 即 故 又因为x为锐角，故 答案:,
