勾股定理(专题训练)

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1、第一讲第一讲 勾股定理专题训练勾股定理专题训练 【知识点精讲知识点精讲】 1 勾股定理： 2 勾股定理的逆定理： 3 勾股数： 、 4 两种特殊的直角三角形：30的直角三角形 45的直角三角形 5 两点之间-最短，但蚂蚁在圆柱体表面爬行时，所走的路线必定是-线。 6 立体图形转化为-图形，再转化为-问题 7 勾股定理是求-的长度的主要方法，若缺少直角条件则可以通过作垂线段 的方法构造 RT，为勾股定理的应用创造必要的条件。 8 勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用，还经常利用方程求线段的和差等关 系。 【典型例题与思维拓展典型例题与思维拓展】 例例 1 已知如图，在 RtABC 中，ACB=90

2、,AC=7,BC=24,CD 是斜边 AB 上的 高，求 CD 的长. B D A C 拓展与变式练习拓展与变式练习 1 1. 已知如图，在 RtABC 中，ACB=90，BC=40,AB=41,CD 是斜边上的高， 求 CD 的长。 B D A C 2 2. 如图将 RtABC 沿 AD 对折，使点 C 落在 AB 上的 E 处，若 AC=6,AB=10,求 DB 的长。 E D C A B 例例 2 2 如图，折叠长方形的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处，若 AB=3，BC=4,求 EC 的长。 拓展变式练习拓展变式练习 2 2 1.如图折叠长方形 ABCD,先折出对角线

3、BD,再折叠 AD 边与 BD 重合,得到折痕 DG.若 AB=12,AD=9,求 AG 的长. E G C B A D l A C E F B D 3 2如图将长方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使 C 点落在 F 处,BF 交 AD 于点 E,AD=10，AB=6，求BDE 的面积是多少？ E F D C B A 例 3 如图，在ABC 中，BAC=90,AB=AC,D,E 在 BC 上，DAE=45. 求证：CD +BE =DE . 222 B E C D A 拓展变式练习拓展变式练习 3 3 1. 已知如图，在ABC 中，A=90,DE 为 BC 的垂直平分线,求证：BE =AC

4、2 +AE 22 E B DC A 2. 如图在 RtABC 中，C=90,DA=DB,E、F 分别在 AC 和 BC 上，且 EDDF, 求证：EF =AE +BF 222 4 F E D B A C 例 4 如图在四边形 ABCD 中，已知B=90,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,求 四边形 ABCD 的面积. 拓展变式练习拓展变式练习 4 4 D C B A 1. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB,BC,DA 的长分别为 2、2、2，且 CD =12，ABBC,求DAB 的度数. 2 D C B A 2. 如图在ABC 中,BC=6，AC=8,在ABE 中,DE 是

5、AB 边上的高,DE=7, ABE 的 5 面积为 35, 求C 的度数. D E B C A 例 5 若ABC 的三边长 a、b、c 满足条件：a +b +c =10a+24b+26c-338,试 222 判断ABC 的形状. 例例 6 6：（最短路径问题）：（最短路径问题）有一个长宽高分别为 2cm，1cm，3cm 的长方体，有一只小蚂蚁想 从点 A 爬到点 C1处，则它爬行的最短路程为_cm. 变变式式拓拓展展训训练练 【 【变变式式 1】 】ABC 中，AB=17cm，BC=16cm，BC 边上的中线 AD=15cm，ABC 是_三角形。 【 【变变式式 2】 】(天府前沿)如果ABC

6、 的三边 a、b、c 满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么ABC 一 定是（ ） A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6 【 【变变式式 3】 】如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10 千米，BD=30 千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用 为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总 费用是多少？ 【创新探究创新探究】 1 （教材 1+1.思维拓展）如图，在ABC 中，AB=5,AC=13,BC 边上的中线

7、 AD=6，求证： ABD 为直角三角形。 2. .（2009 中考）若ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此三角形为 _三角形 3 （2008 天津）在 RtABC 中 AC=BC，C=90，P、Q 在 AB 上，且PCQ=45， 求证：AP2+BQ2=PQ2 （天津市竞赛变形）4如图，在ABC 中，AB=AC，P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识说明： AB2AP2=PBPC。 5 （天府前沿2010 培优）RtABC 一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 RtABC C QP BA A B CD L C D A B 7 的周长为_

8、. 6 （天府前沿2010 培优）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内的一 点，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度数 7 （2009 年“希望杯”晋升训练）已知ABC 中，ABAC，B2A。 求证：AB2BC2ABBC（方法：构造直角三角形） 拓展变式练习拓展变式练习 5 5 已知 a、b、c 为ABC 的三边长，且满足条件：a +b +c +50=6a+8b+10c, 222 试判断ABC 的形状. 【思维与能力提升思维与能力提升】 1.如图在ABC 中，CE 平分ACB，CF 平分ACD，且 EFBC 交 AC 于点 M,若 CM=5， 求 CE +CF 的值

9、 22 D F M C E B A 2 如图，ABC 是直角三角形，CAB=90，D 是斜边 BC 上的中点，E、F 分别是 AB、AB A C P B C A B 8 边上的点，且 DEDF. （1） （如图 1）若 AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF 的面积。 （2） （如图 2）求证： 222 BECFEF （3）设 AB=6，点 E,F 在 AB,AC 上移动，且保持EDF=90,设 AE=x，当 其从 1 开始逐渐变为 5（每次增加 1）时，写出 EF 的长度，并猜想点 E 移到何位置 时 EF 最短. A B C D E F A B C D E F 【家庭作业家庭作业】A】

10、A 卷卷 一、选择题一、选择题 1直角三角形的两直角边分别为 5、12，则斜边上的高为（ ） A6 B.8 C. D. 13 80 13 60 2.已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm,c=10cm,则 RtABC 的面积为（ ） A.24cm B. 36cm C.48cm D.60cm 2222 3.等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ） A.56 B.48 C.40 D.32 4.如图ABC 中，B=90，两直角边 AB=7，BC=24，三角形内有一点 P 到各边 的距离相等，则这个距离为（ ） A.1 B.3 C.4 D.5 C A B P 5.

11、下列几组数：6,7,8;8,6,15;n -1,2n,n +1;m -n ,2mn,m +n .其 222222 中以它们为边能组成直角三角形的是（ ） A B. C. D. 6.在ABC 中，A,B,C 的对边分别为 a,b,c.下列说法错误的是（ ） A.C -B =A ，那么C=90 B.如果C=90，则 c - b = a 222 C.如果（a+b） （a-b）= c ,那么C=90 D.如果A=30，B=60那么 2 AB=2BC 二、填空题二、填空题 9 1. ABC 中，C=90，两直角边之比为 3:4，斜边长为 10，则这个三角形的 面积为. 2.已知一三角形三边分别为 5k,

12、12k,13k,则这个三角形为，理由是 . 3.以 a,b,c 为三边的三角形，其三边满足 a +b =25,a -b =7,且 c=5，则这个 2222 三角形的最长边位，这条边上的高为. 4.若一个三角形的三边长为 m+1,m+2,m+3,当 m=时，这个三角形是直角三 角形. 5.在ABC 中，AB=AC=17，BC=16cm,则这个三角形的面积为. B B 卷卷 一填空题一填空题 1在 RTABC 中，AC=4，BC=3，则 AB=_。 2. 如图是一长方体长 4、宽 3、高 12，则图中阴影部分的三角形的周长为_。 3若二次根式是同类二次根式，则 x 的值为_时。318xx 与 4直

13、角三角形有一条直角边长为 13，另外两条边长都是自然数，则周长为_。 5在ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高为 12，则ABC 的周长为 _。 二、解答题二、解答题 1.如图在 RtABC 中，C=90， DAB=DAC,AB=26，AC=10，BD:CD=13:5, 求点 D 到 AB 的距离. A C D B 2.在ABC 中，已知B=22.5，C=60，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，EC=1， AEBC,求 BD 的值. 2 A F E D C B 3. 如图ABC 中，ACB=90,CD 平分ACB，AECD 于点 D,AE 交 BC 于点 E,EFAB 于点 F,AC=6，BC=8. 第 2 题 4 3 12 10 比较 AC,EC 的大小，并说明理由： 求 AB 的长： 求 AF 的 长： E F D B C A 4. 在ABC 中，ACB=DBC=90,E 为 BC 的中点，DEAB,垂足为 F，且 AB=DE. 求证：BCD 为等腰 Rt; 若 BD=10cm，求 AC 的长; 在的条件下 求 BF 的长. F E D B C A 【思考题】如图在四边形 ABCD 中，ABC=30，ADC=60，AD=CD,求证 BD =AB +BC 222