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1、第7章 图 7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历 7.4 图的连通性问题 7.5 有向无环图及其应用 7.5.1 拓扑排序 7.5.2 关键路径 7.6 最短路径,7.5.2 关键路径,对整个工程和系统，人们关心的是两个方面的问题： 1）工程能否顺利进行 对AOV网进行拓扑排序 2）估算整个工程完成所必须的最短时间 对AOE网求关键路径,AOE-网,AOE网(Activity On Edge Network)：即边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图。其中： 顶点表示事件（Event） 弧表示活动（Activity） 权值表示活动持续的时间 通常可用AOE网来
2、估算工程的完成时间。,上图AOE-网中： 共有11项活动：a1,a2,a3,a11； 共有9个事件：v1,v2,v3,v9，每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。,v9 表 示 整 个 工 程 的 结 束,v5表示a4和a5已经完 成， a7和a8可以开始,与每个活动相联系的数是执行该活动所需的时间,v1 表 示 整 个 工 程 的 开 始,由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，在正常的情况（无环）下，网中只有一个入度为零的点（称作源点）和一个出度为零的点（称作汇点）,汇点,源点,依据AOE-网可以研究什么问题？,（1）完成整项工程至少需要多少时间？ （2）哪些活动是影
3、响工程进度的关键？,完成工程的最短时间是从源点到汇点的最长路径的长度。路径长度最长的路径叫做关键路径。 从v1到v9的最长路径是（v1,v2,v5,v8,v9），路径长度是18。,假设开始点是v1，从v1到vi的最长路径长度叫做事件vi的最早发生时间。这个时间决定了所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。 用e(i)表示活动ai的最早开始时间。,V9的最早发生时间是18,事件vi的最早发生时间,l(i)e(i)两者之差意味着完成活动ai的时间余量。我们把l(i)e(i)的活动叫做关键活动。 显然，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动并不能加快工程的进度。,a6的最早开
4、始时间是5，最迟开始时间是8。如a6推迟3天开始或延迟3天完成，都不会影响整个工程的完成。,活动的最迟开始时间l(i)，这是在不推迟整个工程完成的前提下，活动ai最迟必须开始进行的时间。,由此可知：辨别关键活动就是找e(i)l(i)的活动。为求得AOE网中活动的e(i)和l(i)，首先应求得事件的最早发生时间 ve(j)和 最迟发生时间vl(j)。 若活动ai由弧表示，持续时间记为dut()，则有如下关系： 活动i的最早开始时间等于事件j的最早发生时间 e(i) ve(i) 活动i的最迟开始时间等于事件k的最迟时间减去活动i的持续时间 l(i) vl(j) - dut() 求ve(j)和 vl
5、(j)需分两步进行：,vej和vlj可以采用下面的递推公式计算： （1）向汇点递推 ve(源点) = 0 ； ve(j) = Max ve(i) + dut(),公式意义：从指向顶点Vj的弧的活动中取最晚完成的一个活动的完成时间作为Vj的最早发生时间vej,（2） 向源点递推 由上一步的递推，最后总可求出汇点的最早发生时间ven。因汇点就是结束点，最迟发生时间与最早发生时间相同，即vln=ven。从汇点最迟发生现时间vln开始，利用下面公式： vl(汇点) = ve(汇点); vl(i) = Min vl(j) dut() ,公式意义：由从Vi顶点指出的弧所代表的活动中取需最早开始的一个开始时
6、间作为Vi的最迟发生时间。,由此得到下述求关键路径的算法： 1）输入e条弧，建立AOE网的存储结构。 2）从源点v0出发，令ve00按拓扑有序求其余各顶点的最早发生时vei（1i n-1）。如果得到的拓扑有序序列中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤（3）。 3）从汇点vn出发，令vln-1= ven-1，按逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vli (n-2 i 0)； 4）根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间l(s)。若某条弧满足条件e(s)=l(s)，则为关键活动。,如上所述，计算顶点的ve值是在拓扑排序的
7、过程中进行的，需对拓扑排序的算法作如下修改： 1）在拓扑排序之前设初值，令ve(i)=0（0) ve(j), 则 ve(j) = ve(i)+dut()； 3）为了能按逆拓扑有序序列的顺序计算各顶点的vl值，需记下在拓扑排序的过程中求得的拓扑有序序列，则需要在拓扑排序算法中，增设一个栈以记录拓扑有序序列，则在计算求得各顶点的 ve 值之后，从栈顶至栈底便为逆拓扑有序序列。,总之，关键路径的求解操作包括： 1）计算 vej 和 vlj 向汇点递推 ve(源点) = 0 ； ve(j) = Max ve(i)+ dut() 向源点递推 vl(汇点) = ve(汇点); vl(i) = Min vl
8、(j) dut(),2）判断 l(i) = e(i)的活动（关键活动）,求最早发生时间ve的算法,Status TopologicalOrder(ALGraph G，Stack for(p=G.verticesj.firstarc；p；p=p-nextarc) k=padjvex； /对i号顶点的每个邻接点的入度减l if(-indegreek=0)Push(S，k)；/若入度减为0，入栈 if(vej+*(p-info)vek ) vek=vej+*(p-info)； /for *(p-info)=dut() /while if(countG.vexnum) return ERROR； /该
9、有向网有回路 else return OK； /TopologicalOrder,求关键路径的算法,Status CriticalPath (ALGraph G) /G为有向网，输出G的各项关键活动 if(!TopologicalOrder(G，T) return ERROR； vl0G.vexnum-1=veG.vexnum-1； /初始化顶点事件的最迟发生时间 while(!StackEmpty(T) /按拓扑逆序求各顶点的vl值 for(Pop(T,j)，p=G.verticesj.firstarc；p；p=p-nextarc) k=p-adjvex； dut=*(pinfo)； /du
10、t if(vlk-dutnextarc) k=p-adjvex； dut=*(pinfo)； ee=vej；el=vlk-dut；tag = (ee=e1) ? *:； printf(j，k，dut，ee，el，tag)； /输出关键活动 /CriticalPath,例：求下图AOE网的关键路径,e(s) ve(i) l(s) vl(j) - dut(),ve(源点) = 0 ； ve(j) = Max ve(i) + dut(),vl(汇点) = ve(汇点); vl(i) = Min vl(j) dut(),拓扑序列：V1、V3、V2、V5、V4、V6,练习：求下图AOE网的关键路径,总结
11、： 有向无环图是描述一项工程或系统的进行过程的有效工具。 AOV网（顶点表示活动的有向网）与拓扑排序解决工程或系统能否顺利进行； AOE网（边表示活动的有向网）和关键路径问题估算整个工程完成所必须的最短时间，求解哪些活动为关键活动。,第7章 图 7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历 7.4 图的连通性问题 7.5 有向无环图及其应用 7.6 最短路径,7.6 最短路径,所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（称为源点）出发到达另一顶点（称为终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和达到最小。 1.单源点最短路径 2.所有顶点对之间的最短路
12、径,7.6.1 单源点最短路径,给定带权有向图G和源点v, 求从v到G中其余各顶点的最短路径。,V5,V0,V2,V4,V1,V3,100,30,10,60,10,20,50,5,V0,V2,V4,V3,V5,V0,始点 终点 Di 最短路径,V1 V2 V3 V4 V5, 10 30 100, 10 30 100, 10 60 30 100, 10 60 30 100, 10 50 30 100,(V0, V2) (V0, V4) (V0, V5),(V0, V2) (V0, V4) (V0, V5),(V0, V2) (V0, V2, V3) (V0, V4) (V0, V5),(V0,
13、V2) (V0, V2, V3) (V0, V4) (V0, V5),(V0, V2) (V0, V4, V3) (V0, V4) (V0, V5), 10 50 30 90,(V0, V2) (V0, V4, V3) (V0, V4) (V0, V4, V5), 10 50 30 90,(V0, V2) (V0, V4, V3) (V0, V4) (V0, V4, V5), 10 50 30 60,(V0, V2) (V0, V4, V3) (V0, V4) (V0, V4, V3, V5), 10 50 30 60,(V0, V2) (V0, V4, V3) (V0, V4) (V0, V
14、4, V3, V5),如何在计算机中求得最短路径？,Dijkstra提出了一个按路径“长度”递增的次序，逐步得到由给定源点到图的其余各点间的最短路径的算法： 假设我们以邻接矩阵cost表示所研究的有向网。 迪杰斯特拉算法需要一个顶点集合，初始时集合内只有一个源点V0 ，以后陆续将已求得最短路径的顶点加入到集合中，到全部顶点都进入集合了，过程就结束了。集合可用一维数组来表示，设此数组为S，凡在集合S以外的顶点，其相应的数组元素Si 为 0 ，否则为 1 。,另需一个一维数组D，每个顶点对应数组的一个单元，记录从源点到其他各顶点当前的最短路径长度，其初值为Di=costV0i，i=1n。数组D中的
15、数据随着算法的逐步进行要不断地修改 定义了S集合和D数组并对其初始化后，迪杰斯特拉算法在进行中，都是从S之外的顶点集合中选出一个顶点w，使Dw的值最小。于是从源点到达w只通过S中的顶点，把 w 加入集合S中，并调整D中记录的从源点到集合中每个顶点v的距离： 取Dv和Dw+costwv中值较小的作为新的Dv 重复上述，直到S中包含V中其余各顶点的最短路径。,V0 V1 V2 V3 V4 V5 V0 10 30 100 V1 5 V2 50 V3 10 V4 20 60 V5 ,V0,V2,V4,V3,V5 ,V1,V0,V2,V4,V3,V5,V0,V2,V4,V3,V0,V2,V4,V0,V2,S=V0,V1,V5,V3,V4,V2,Vj,V5,V4,V3,V2,V1,i=5,i=4,i=3,i=2,i=1,D 终点,7.6 最短路径,7.6.1 单源点最短路径 7.6.2 所有顶点对之间的最短路径,问题描述： 已知一个各边权值均大于 0 的带权有向图，对每对顶点 vivj，要求求出每一对顶点之间的最短路径和最短路径长度。 解决方案： 1. 每次以一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法n次。这样，便可求得每一对顶点之间的最短路径。总的执行时间为O(n3)。 2. 形式更直接的弗洛伊德（Floyd）算法。时间复杂度也为O(n3)。,
