《函数求定义域方法总结和配套习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数求定义域方法总结和配套习题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数定义域求法的总结和配套习题（1）分式中的分母不为零；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）指数式的底数大于零且不等于一；（4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零；（5）正切函数；xytan kkxRx,2,且（6）余切函数；xycotkkxRx,且（7）反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是1，1，值域是；函数 yarccosx 的定义域是1，1，值域是0， ；函数 yarctgx 的定义域是 R，值域是；函数 yarcctgx 的定义域是 R，值域是(0，)。1、抽象的一、已知的定义域，求的定义域( )f x( )f g x例 1已知函数的定义域为，求的定义
2、域( )f x15 ，(35)fx分析：该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是35ux( )f uxu中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是已知，即( )f x( )f u15u ，求的取值范围1355xx解：的定义域为，( )f x15 ，1355x410 33x故函数的定义域为(35)fx4 10 33 ，二、已知的定义域，求的定义域( )f g x( )f x例 2 已知函数的定义域为，求函数的定义域2(22)f xx0 3，( )f x分析：令，则，222uxx2(22)( )f xxf u由于与是同一函数，因此的取值范围即为的定义域( )f u( )f xu( )f x解：由
3、，得03x21225xx令，则，222uxx2(22)( )f xxf u15u故的定义域为( )f x 15，三、运算型的抽象函数例 若的定义域为，求的定义域( )f x35 ，( )()(25)xfxfx解：由的定义域为，则必有解得( )f x35 ，( )x35 3255x x ， ， 40x 所以函数的定义域为( )x4 0 ，3、逆向型例 5 已知函数的定义域为求实数的取值范围。862mmxmxyRm分析：函数的定义域为，表明，使一切都成立，R0862mmxmxRx由项的系数是，所以应分或进行讨论。2xm0m0m解：当时，函数的定义域为；0mR当时，是二次不等式，其对一切实数都成立的
4、充要0m0862mmxmxx条件是0)8(4)6(02mmmm10m综上可知。10 m评注：不少学生容易忽略的情况，希望通过此例解决问题。0m例 6 6 已知函数的定义域是，求实数的取值范围。347)(2kxkxkxxfRk解：要使函数有意义，则必须恒成立，0342 kxkx因为的定义域为，即无实数解)(xfR0342 kxkx当时，恒成立，解得；0k034162kk430 k当时，方程左边恒成立。0k03 综上的取值范围是。k430 k抽象函数的定义域总结解题模板1.已知)(xf的定义域，求复合函数的定义域 xgf由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的
5、定义域之中，因此可得其方法为：若)(xf的定义域为bax,，求出)(xgf中的解x的范围，即为)(xgf的定义域。bxga)(2.已知复合函数 xgf的定义域，求)(xf的定义域方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为 xgfbax,bxa)(xg的定义域。)(xf3.已知复合函数的定义域，求的定义域 ( )f g x ( )f h x结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得 xf的定义域，再由 xf的定义域求得的定义域。 xgf xhf4.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域( )f x若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域
6、的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例 1 已知函数的定义域为，求的定义域( )f x15 ，(35)fx分析：若的定义域为，则在中，从中解( )f xaxb( )f g x( )ag xb得的取值范围即为的定义域本题该函数是由和构成的复合x( )f g x35ux( )f u函数，其中是自变量，是中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是xu( )f x( )f u已知，即，求的取值范围15u 1355xx解：的定义域为，( )f x15 ，1355x410 33x故函数的定义域为(35)fx4 10 33 ，变式训练：若函数的定义域为，则的定义域为 。)(xfy 2 ,21)(log
7、2xf分析：由函数的定义域为可知：；所以)(xfy 2 ,21221 x中有。)(log2xfy 2log212x解：依题意知：解之，得：2log212x42 x 的定义域为)(log2xf42| xx例 2 2 已知函数的定义域为，求函数的定义域2(22)f xx0 3，( )f x分析：若的定义域为，则由确定的的范围( )f g xmxnmxn( )g x即为的定义域这种情况下，的定义域即为复合函数的内函数的( )f x( )f x( )f g x值域。本题中令，则，222uxx2(22)( )f xxf u由于与是同一函数，因此的取值范围即为的定义域( )f u( )f xu( )f x
8、解：由，得03x21225xx令，则，222uxx2(22)( )f xxf u15u故的定义域为( )f x 15，变式训练：已知函数的定义域为，则的定义域为_。解：解：由，得所以，故填例 3. 函数定义域是，则的定义域是（ ）A. B. C. D. 分析：已知的定义域，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域解：解：先求的定义域的定义域是，即的定义域是，再求的定义域的定义域是，故应选 A变式训练：已知函数 f(2x）的定义域是-1，1，求 f(log2x)的定义域.分析：先求 2x的值域为 M 则 log2x 的值域也是 M，再根据 log2x 的值域求定义域。解 y
9、=f(2x)的定义域是-1，1，即-1x1,2x2.21函数 y=f(log2x)中log2x2.即 log2log2xlog24,x4.21 22故函数 f(log2x)的定义域为，42例 4 4 若的定义域为，求的定义域( )f x35 ，( )()(25)xfxfx分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集解：由的定义域为，则必有解( )f x35 ，( )x35 3255x x ， ， 得40x 所以函数的定义域为( )x4 0 ，变式训练：已知函数的定义域是，求的定义域。分析：分别求 f(x+a)与 f(x-a)的定义域，再取
10、交集。解：解：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是例 5 若函数f(x+1)的定义域为，2，求f(x2)的定义域21分析：已知f(x+1)的定义域为，2，x满足x2，于是x13，21 21 21得到f(x)的定义域，然后f(x2)的定义域由f(x)的定义域可得解：先求f(x)的定义域：由题意知x2，则x13，即f(x)的定义域为，3，21 21 21再求fh(x) 的定义域： x23，解得x或x2132 22 23f(x2)的定义域是x|x或x32 22 23例 6 6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求
11、框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省?分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于 0 也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为，8412xxySS矩形三角形由于，于是，即。又，的取值范围是。0xy8412x24x0xx2
12、40 x解：由题意得xy+x2=8,y=(00;21 2r当xr 时,f(x)0，所以 f（r）是 f(x)的最大值.2r 21因此，当 x=r 时，S 也取得最大值，最大值为.212 233)21(rrf即梯形面积 S 的最大值为.2332r巩固训练1. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为_。（2）函数的定义域为_。分析：做法与例题 1 相同。解：解：（1）由已知有，解得故的定义域为（2）由已知，得，解得故的定义域为2、已知函数的定义域为，则的定义域为_。分析：做法与例题 2 相同。解：解：由，得所以，故填3、已知函数的定义域为，则 y=f(3x-5)的定义域为_。分析：做法与例题 3 相同。解：解：由，得所以，所以 03x-51,所以 5/3x2.
