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1、六年级奥数总复习 2(教师版) 21 第十讲：数论之余数问题第十讲：数论之余数问题 知识点拨： 一、一、带带余除法的定余除法的定义义及性及性质质： ： 一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,若有 ab=qr，也就是 abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商0r (2)当时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商0r 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在 要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就
2、是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并 且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理：二、三大余数定理： 1.余数的加法定理余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余数等 于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5
3、的余数分别是 3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即 2. 2.余数的乘法定理余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 2316 除以 5 的余数等于 31=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数，即 2. 3.同余定理同余定理 若两个整数 a、b 被自然数
4、 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：ab ( mod m )， 左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a 同余于 b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除 用式子表示为：如果有 ab ( mod m )，那么一定有 abmk,k 是整数，即 m|(ab) 三、弃九法原理：三、弃九法原理： 六年级奥数总复习 2(教师版) 21 在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个 铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计
5、算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这 样进行的： 例如：检验算式1234 1898 18922678967 178902889923 1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几 个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的
6、余数相同。 而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的 各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被 称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数 即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+
7、9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的 但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可 以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。 四、中国剩余定理：四、中国剩余定理： 1.中国古代趣中国古代趣题题： ： 中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数 之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。 ” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每 3 人一列余 1 人、5 人一列
8、余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一列都剩 3 人，则兵有 六年级奥数总复习 2(教师版) 21 多少？ 首先我们先求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945（注：因为 5、9、13、17 为两两互质的整数，故其最小公倍数 为这些数的积），然后再加 3，得 9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上 面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国
9、剩余 定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2.核心思想和方法：核心思想和方法： 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经中 的问题为例，分析此方法: 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 3，5，7 后，得到三个余数分别为 2，3，2.那么我们首先构造一 个数字，使得这个数字除以 3 余 1，并且还是 5 和 7 的公倍数。 先由，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看 35 除以 3 余 2，不符合要求
10、，那么就继续看 5 和 7 的5 735 “下一个”倍数是否可以，很显然 70 除以 3 余 135 270 类似的，我们再构造一个除以 5 余 1，同时又是 3 和 7 的公倍数的数字，显然 21 可以符合要求。 最后再构造除以 7 余 1，同时又是 3，5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算： ，其中 k 是从 1 开始的自然数。2 703 212 453,5,72333,5,7kk 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求 的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算得到所求
11、2 703 212 452 3,5,723 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的 23 加上3,5,7即可，即 23+105=128。 例题精讲： 【模块一：带余除法的定义和性质】 【例 1】 ( (第五届小学数学报竞赛决赛第五届小学数学报竞赛决赛) )用某自然数用某自然数去除去除，得到商是，得到商是 4646，余数是，余数是，求，求和和a1992rar 【 【 【因为是的倍还多,得到，得，所以，1992a46r1992464314199246431443a 14r 【 【 【 (清华附中小升初分班考试清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是甲、乙两数的和是，甲
12、数除以乙数商，甲数除以乙数商余余，求甲、乙两数，求甲、乙两数10881132 【 【 【(法 1)因为 甲乙，所以 甲乙乙乙乙； 1132 1132 12321088 则乙，甲乙(108832)1288 10881000 六年级奥数总复习 2(教师版) 21 (法 2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数1088321056 的倍，所以得到乙数，甲数(11 1)105612881088881000 【 【 【一个两位数除一个两位数除 310，余数是，余数是 37，求这样的两位数。，求这样的两位数。 【 【 【本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识
13、点，就是把余数问题-即“不整除问题”转 化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数 与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。 本题中 310-37=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3713，所求的两位数约数还要满足比 37 大，符合条件的有 39，91. 【例例 2】( (年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题) )有两个自然数相除，商是有两个自然数相除，商是，余数是，余数是，已知被除数、除，已知被除数、除20031713 数、商与余数之和为数、商与余数之和为，则被除数是多少？，则被除数是多少？2113 【 【 【
14、被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除 数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）（17+1）=115，所以被除数=2083- 115=1968 【 【 【用一个自然数去除另一个自然数，商为用一个自然数去除另一个自然数，商为 40，余数是，余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是被除数、除数、商、余数的和是 933，求这，求这 2 个自然数各是多少？个自然数各是多少？ 【 【 【本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y，可以得到 ,解方程组得，即这两个自然数分别是 856，21. 40
15、16 40 16933 xy xy 856 21 x y 【例 3】 (2000(2000 年年“祖冲之杯祖冲之杯”小学数学邀请赛试题小学数学邀请赛试题) )三个不同的自然数的和为三个不同的自然数的和为 20012001，它们分别除以，它们分别除以 19,23,3119,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_，_，_。 【 【 【设所得的商为，除数为，由，可求ab(19)(23)(31)2001ababab7332001ab19b 得，所以，这三个数分别是，。27a 10b 19523ab23631ab31847ab 【 【 【(2004 年福州市年福州市“迎春杯迎春杯”小学数学竞赛试题小学数学竞赛试题)一个自然数，除以一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，时所得到的商和余数是相等的， 除以除以 9 时所得到的商是余数的时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数是倍，这个自然数是_ 【 【 【设这个自然数除以 11 余，除以 9 余，则有，即，a(011
