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1、120062006 年年数学分析数学分析考研试题考研试题一、选择题一、选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。要求把答案填在答题纸上）1. 把时的无穷小量0x排列起来，使排在后20cos,xt dt20tan,xtdt30sinxt dt面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A） （B） （C） （D）, , , , , , , 2. 设函数连续，且，则存在，使得( )f x(0)0f 0（A）在内单调增加( )f x(0, )（B）在内单调减少( )f x(,0)（C） 对任意的，有(0, )x( )(0)f x
2、f（D） 对任意的，有(,0)x ( )(0)f xf3.设均为实数列，且，则, , nnnabclim0,lim1,limnnnnnnabc 必有（A）对任意 成立 （B）对任意 成立nnabnnnbcn（C）存在有限的极限 （D）不存在有限的极nna cnnb c限4.设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确( , )f x y00(,)xy的是(A)在处的导数等于零 0(, )f xy0yy(B)在处的导数大于零0(, )f xy0yy2(C)在处的导数小于零 0(, )f xy0yy(D)在处的导数不存在0(, )f xy0yy二、填空题二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，满
3、分 24 分.要求把答案填在答题纸上）1. 21ln(1)0lim(cos )xxx2.曲面与平面平行的切平面的方程是 22zxy240xyz3.若级数绝对收敛且级数条件收敛，则级数1n na 1n nb的敛散性是 100(|)kk kab4.已知，且，则= xxfexe(1)0f( )f x5.设 L 为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分222xy的值为 2 Lxdyydx6.幂级数的收敛域为 （要考虑端点情1(3)nnx n况）7. 设，D 表示全平面，则,010,( )( )0,axaf xg x 其它 DIf x g yx dxdy8. 设函数由参数方程确定，则曲线向上( )y x
4、333131xttytt ( )yy x凸的 取值范围为 x三、三、 （1515 分）分）设，若 满足方程222( ),uf r rxyzu3，试求出函数 .2222220uuu xyzu四、四、 （1515 分）分）设函数在上连续且恒大于零，( )f x(,) ，其中 22222( )( )222( )( ),( )tD t ttD tf xyzdVf xydF tG tf xydf xdx.2222222( )( , , ),( )( , )tx y z xyztD tx y xyt（1） 讨论在区间内的单调性.( )F t(0,)（2） 证明当时，.0t 2( )( )F tG t五、五
5、、 （1515 分）分）设有方程，其中 为正整数，证明此方10nxnx n程存在唯一正实根，并证明当时，级数收敛.nx11n nx六、六、 （1515 分）分）设函数在闭区间上连续，在开区间内( )f x , a b( , )a b可导，且. 若极限存在. 证明：( )0fx2lim xafxa xa (1) 在内.( , )a b( )0f x (2) 在内存在点 ，使.( , )a b 222( )baba ff x dx (3) 在内存在与(2)中 不同的点 ，使( , )a b.222( )( )bafbaf x dxa七、七、 （1515 分）分）设，证明数列存11310,0,3(1
6、,2,)4nn naaxxxnxnx在极限，并求极限.limnnx 八、八、 （1515 分）分）设，其中.（1）证明 0sin( )yxxI yedxx0yb在上一致收敛；（2）求及的值.( )I y0, b( )I y(0)I4九、九、 （1010 分）分）设是函数项级数的前 项部分和函数( )nSx1( )k kuxn列，每个在上连续，且在上一致收敛于.又( )nSx, a b1( )k kux, a b( )S x且.证明. , nxa b0()nxx n 0limnnnSxS x 十、十、 （1010 分）分）设在上连续，且满足，( ), ( )f x g x , a b( )( )xxaaf t dtg t dt. , )xa b(1)问：这时对任意是否都成立？请证明或举例 , )xa b( )( )f xg x说明你的结论.(2)若还满足，试证：.( )( )bbaaf t dtg t dt( )( )bbaaxf x dxxg x dx( (完完) )
