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1、线性代数复习指导,The Review Lesson To Linear Algebra,端木奈良 更多学习资源请加QQ：2119658018,线性代数学习的重要意义就是构建数理世界观，提高运算能力,第一章 行列式,1.行列式的定义 2.行列式的一些特点 行列式的结果是一个数值，行列式研究的对象行列式中的行与列的变化，行列同质 3.行列式的性质 a.原行列式与转置行列式相等（因为行列式的行与列同质，对行的计算与研究同样适用于对列的计算与研究） b.行列式当中的某一行或者某一列提出一个数相当于该行列式乘以一个数（这个要与后来的矩阵相区分） c.行列式当中调换两行或者调换两列，结果数值相反,第一章
2、 行列式,d.行列式当中某一行或者某一列拆分，相当于将行列式拆分成两个行列式，拆分之后的行列式，变化的是拆分的那一部分 e.行列式某两行或者某两列元素成比例，那么该行列式数值为0 f.行列式当中一行或者一列元素减去或者加上另一行或者另一列元素与别的数的乘积，结果不变 4.行列式的展开式 余子式和代数余子式 某行或者某列元素代数余子式与该行列元素相乘等于行列式的数值,第一章 Cramer Rule,IF,的系数行列式 D 0 ，,那么它只有零解,第一章小结,1.行列式的定义 2.行列式的内在理解 3.行列式的性质 4.行列式的展开式 5.Cramer Rule 习题请加QQ：2119658018
3、,第二章 矩阵,1.矩阵的定义 2.矩阵的本质矩形数表；矩阵的运算就是定义一套规则在矩形数表内进行计算，实质上是数理逻辑的计算 3.几种特殊的矩阵： a.零矩阵：元素都为零的矩阵，记作 或 b.对角矩阵：主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵.c.单位矩阵：对角数为1的对角矩阵。记为E d数量矩阵：有数量的对角矩阵,记作,记作,第二章 矩阵,e.三角矩阵：分为上三角和下三角 f.负矩阵：原矩阵乘上负一 g.行最简型，行阶梯型，标准型 4.多元线性方程组与矩阵 a.系数矩阵与增广矩阵 5.矩阵的运算，加法，减法，数乘，乘法，转置，对称阵与反对称阵、 6.方阵行列式（这里要注意方阵行列式的运
4、算规则) 7.伴随矩阵（注意运算规律） 8.共轭矩阵（不太重要）,第二章 矩阵,9.逆矩阵 可逆必唯一,逆矩阵 存在,第二章 矩阵,10.矩阵的秩,行阶梯形矩阵的秩 = 其非零行的行数.,定理 1 若AB ，则 R(A)= R(B).,第二章 矩阵,11.矩阵的初等变换,定义4 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.,定理4 对矩阵 A 施行一次初等行（列）变换相当于以相应,定理5 设 A 为 n 阶矩阵, 则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是,的初等矩阵左（右）乘 A.,存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , , Pk ，使 A = P1P2 Pk .,推论 矩阵 A B ( A 与
5、 B 等价）的充要条件是存在可逆矩,矩阵 P 和 Q 使 PAQ = B .,初等矩阵的概念实质上是对矩阵的解构,要熟悉至少两种求逆矩阵的方法,初等行变换,第二章 矩阵,12.线性方程组的解,定理 2 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要,条件是系数矩阵A 的秩 R(A) n .,定理 3 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条,件是 R(A) = R(B) ,其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组,Ax = b 的增广矩阵.,n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解的充分必要条件是,R(A) = R(B) = n .,第二章小结,1.矩阵的定
6、义与种类 2.矩阵的基本运算（加减、数乘、转置、乘法、幂运算、方阵行列式、伴随矩阵），其中尤其要注意矩阵的乘法、方正行列式还有伴随矩阵的运算法则的死记硬背 3.逆矩阵，逆矩阵要与伴随矩阵相联系，逆矩阵存在的充分必要条件 4.矩阵的秩，理解矩阵秩的本质 5.矩阵的初等变换，初等矩阵的本质就是对矩阵的进一步解构，初等矩阵是矩阵的基本单位。 6.矩阵与线性方程组的关系,第三章 向量,1.向量的定义，向量、向量组和矩阵的关系 2.向量组的线性相关 3.向量的线性表示： a.一个向量被向量组线性表示 b.一个向量组被另一个向量组线性表示,B=A,用向量的知识解构与重构矩阵,定理 1 向量 b 能由向量组
7、 A 线性表示的充要条件是 R(A) =,R(B) , 其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ), B = ( a1 , a2 , am ,b ) .,联系上一章节学习的线性方程组的是知识,定义3 设有向量组 A: a1 , a2 , am 和向量组 B: b1 , b2 ,若向量组 A 与向量组,那么称向量组 B 能由向量组 A 线性表示.,如果组 B 的每个向量都能由向量组 A 线性表示，, bs ，,B 能互相线性表示，,则称这两个向量组等价.,秩相等的向量组未必等价,第三章 向量,4.向量组的线性相关,向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关的充分必要条件是齐次线,有
8、非零解.,定理 2 向量组 a1 , a2 , , am 线性相关的充分必要条件是,矩阵 A 的秩 R (A) m . 其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ).,性方程组,有解即相关,第三章 向量,5.,定理 3 若向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关,组 B: a1 , a2 , , am , am+1 也线性相关.,则向量,第三章 向量,无关者无关，相关者相关, 若向量组 A:,线性无关，,也线性无关.,则向量组 B:,第三章 向量, n +1 个 n 维向量必线性相关., 如果向量组 A : a1 , a2 , am 线性无关，,a1 , a2 , am , b
9、线性相关,那么向量 b 可由向量组 A 线性表示.,且表法唯一.,而向量组 B:,第三章 向量,6.向量组的秩,定理4 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，,也等于它的行量,组的秩., 向量 组 a1 , a2 , ar 线性无关，, 向量组 A 中任意 r +1 个向量都线性相关.,那么称向量组 a1 , a2 , ar 是向量组 A 的一个最大线性无关向,r 称为向量组 A 的秩.,简称为最大无关组.,量组，,这里要注意最大无关组的概念,定理 5 如果向量组 B 能由向量组 A 线性表示，,那么向量,组B 的秩不大于向量组 A 的秩.,第三章 向量,7.向量空间（不做要求）,定义6 设 V 是
10、n 维向量的集合，,那么称集合V为向量,如果集合V 非空，,且对任意,空间.,定义 7 设有向量空间 U 及 V,定义 8 设 V 为向量空间，如果 r 个向量,且满足, V 中任意向量都可由 a1 , a2 , ar 线性表示.,那么，向量组 a1 , a2 , ar 就称为 V 的一个基，,空间V 的维数，,称 r 为向量,并说V 是 r 维向量空间., a1 , a2 , ar 线性无关；,该空间是纯粹的思维定义出来的，不是实在的物理空间，而是数理空间,第三章 向量,8.线性方程组解的结构 a.线性方程组的解向量指的是线性方程组解组成的解的向量b.线性方程组解的空间指的是由线性方程组的解
11、的向量满足空间线性运算及元素线性无关所组成的空间，其次线性方程组的解向量就是一个解空间,齐次方程组的解的性质,性质 1,性质 2,定理 6 n 元齐次线性方程组,Ax = 0 ,的解空间的维数为 n - r ，,即 的基础解系含 n - r 个解，,其中,R(A) = r.,实质上就是利用向量构造线性方程组的解,第三章 向量,1向量的线性表示（主要是线性表示的概念，单个向量、向量组与向量组的线性表示） a.线性相关及线性表示成立的条件 2.向量的秩 3.向量空间与线性方程组解的结构,第四章 特征、相似,1.特征向量、特征值 要求求特征值、特征向量,解 A 的特征多项式为,所以，A 的特征值为,
12、第四章 特征、相似,.,得基础解系,其中k为任意非零数.,第四章 相似、特征,.,求下列方阵的特征值与特征向量,确定自由未知数,第四章 特征、相似,2.相似矩阵 相似矩阵 相似对角阵要求：求相似变换矩阵和对角矩阵,1、对角形的主对角线元素就是 A 的所有特征值,2、矩阵P是由矩阵 A 的所有特征向量构成的可逆矩阵,第四章 特征、相似,.,例 1 判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相似,解 A 的特征多项式为,因此 A 的特征值为,变换矩阵和对角矩阵,第四章 特征、相似,.,得基础解系,第四章 特征、相似,.,解方程组(A - E)x = 0.由,得基础解系,第四章 特征、相似,.,令,
13、则可逆矩阵 P 为所求相似变换矩阵, 且,3 阶矩阵 A有 3个线性无关的特征向量，所以，它能与对角矩阵相似。,第三节 特征,3.向量的内积,第四章,.对称阵，正交变换,第五章 二次型,1.二次型的概念，认识二次型 2.对二次型的矩阵重构 行向量乘上对称阵乘上列向量，中间那个叫做二次型矩阵,每一个二次型都能确定一个对称矩阵A，反之给出一个对称矩阵A都能确定一个二次型,会把二次型方程化为二次型矩阵（掌握其运算的方法）,第五章 二次型,3.矩阵的合同关系,1、定义：设 ，若存在可逆矩阵,使 ，则称A与B合同.,合同必等价，合同变化保证矩阵的对称性和秩,区分合同变化和相似变换,二次型的秩就是对称矩阵的秩,第五章 二次型,任意给一个二次型，总存在正交变换，使得二次型化为标准型，在可以进一步化为规范型 a.求特征值、特征向量 b.求标准型 c.求规范型,
