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1、设函数( ) (1,2,)nuxn 都在集合E上有定义，0xE。若数值级数 010200 1()()()()nn nuxu xuxux收敛，则称0x为函数项级数1( )n nux 的收敛点，否则称为该函数项级数的发散点。所有收敛的集合，称为该函数项级数的收敛域。发散点的集合称为该函数项级数的发散域。若E上每一点均是函数项级数0( )n nux 的收敛点，则称该函数项级数在E上处处收敛。设J是函数项级数0( )n nux 的收敛域。xJ ，设对应的级数和为( )S x，这样，便在J中定义了一个函数( )S x，称为该函数项级数的和函数。例如，几何级数201nnnxxxx 它的收敛域为1x ，发散
2、域为1x ；在收敛域内，和函数是1 1 x，即有1 1 0( 1,1)n x nxx 设( )nSx是函数项级数1( )n nux 的前n项和，则当xJ时，有lim( )( )nnSxS x 称( )( )( )nnr xS xSx为该函数项级数的余项和。显然，xJ ，有lim( )0nnr x 例 4.1 设1 1( ),( )(),2,3,nn nu xx uxxxn，讨论函数项级数1( )n nux 的收敛性，并求其和函数 。解 由于2321( )()()()nn nSxxxxxxxx故当1x 时，lim( )lim0n nnnSxx ；当1x 时，lim(1)1nnS ；当1x 时，(
3、 1)( 1)nnS ，当n 时，它的极限不存在；当1x 时，lim( )limn nnnSxx ，故知该级数的收敛域为( 1,1，在收敛域上，它的和函数为01( )11xS xx注：1）即使每个( )nux都连续，和( )S x也仍然可以是不连续的函数。2）函数的可微性和可积性可能不再成立。即函数项级数11( )( )nn nnuxux（4.1）11( )( )bbnnaannux dxux dx(4.2)都不成立。若如果式（4.1）成立，则说级数1( )n nux 可以逐项微分；如果式（4.2）成立，则说1( )n nux 可以逐项计分。7.4.2 函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收
4、敛性处处收敛的 “N” 语言，应该是这样的：0,( , )xJNNx ，使得当nN时，有( )( )( )nnr xSxS x( , )NNx表明，N不但依赖于，还依赖于x。即对给定的、J中不同的x，可以有不同的N，对所有的x不一定有通用的自然数N。若存在着通用的自然数N使级数收敛，则称级数一致收敛。定义 4.1 设函数项级数1( )n nux 在J上收敛于和函数( )S x。若0,N 当nN时，( )( )nS xSx对所有的xJ都成立，则称该级数在J上一致收敛或一致收敛于( )S x。类似地，可以给出函数列( )nfx在J上一致收敛于函数( )f x的定义。一致收敛性的几何形象，（以序列为
5、例）。设函数序列( )nfx在区间I上一致收敛于函数( )f x。如果以曲线( )yf x为“中心”，作一“宽度”为2的带形区域，则不论正数如何小，总有一个正整数N，使当nN时，曲线( )nyfx都完全在上述带形区域之内（图 4.1）。再分析例 4.1 中的级数。当01x时( )( )( )n nnr xS xSxx故0 ，若要( )nr x，必须ln( )lnnx，即 ln ln(01)xnx当1x时，由于ln lnx ，所以当x在(0,1)内找不到通用的N。从而所讨论级数在区间(0,1)内部不一致收敛，在0,1上更不可能一致收敛（图 4.2）。但是，对于任何小于1的正数r，所讨论级数在上是
6、一致收敛的，因为这时可以取ln lnrN。证明一个函数项级数在J上不一致收敛的一般方法是：00，使得无论自然数n多么大，总存在nxJ，使得( )( )nSxS x一致收敛性的判别方法：定理 4.1 （Cauchy 一致收敛准则） 函数项级数1( )n nux 在J上一致收敛的充分必要条件是：0,( ),NN 当nN时，对xJ 及任何的自然数P，有1( )( )( )n Pn Pk k nSxS xux (4.3)证明 必要性 设该级数在J上一致收敛于和函数( )S x。则0,( )NN 当nN时，对xJ ，有22( )( )( )( )nn PSxS xSxS x 从而有( )( )( )(
7、)( )( )n Pnn PnSxSxSxS xS xSx充分性 设不等式（4.3）成立，则有数列的 Cauchy 收敛准则，对于任意固定的xJ，部分和数列( )nSx收敛，即该级数在J上处处收敛，设其极限函数为( )S x。在式（4.3）中，令P ，便得到：当( )NN时，xJ ，即( )( )nS xSx由定义 4.1，级数在J上一致收敛。推论 设级数1( )n nux 在J上一致收敛，则函数列( )nux在J上一致收敛于零。定理 4.2 （Weierstrass 准则或M判别法）如果存在一个收敛的正项级数1n nM ，使得对xJ ，有( )1,2,nnuxMn则函数项级数1( )n nu
8、x 在J上一致收敛。证明 由于正项级数1n nM 收敛，根据数值级数的 Cauchy 收敛准则，0,( ),NN 当nN时，恒有12(1,2,)nnn PMMMP由已知，xJ ，有( )1,2,nnuxMn，故121212( )( )( )( )( )( )nnn Pnnn Pnnn PuxuxuxuxuxuxMMM根据定理 4.1，该级数在J上一致收敛。定理 4.2 中的级数1n nM 称为控制级数或优级数。例 4.2 判断级数421 1x n x n 在0x 上的一致收敛性。解 因为4212,0n xnx x，所以 4221 12x n xn而正项级数211n n 是收敛的P-级数，故所讨
9、论的函数项级数在区间0,)上是一致收敛的。7.4.3 和函数的分析性质和函数的分析性质定理 4.3 若函数项级数1( )n nux 在区间I上一致收敛于和函数( )S x，且级数的每一项( )nux都在I上连续，则和函数( )S x也连续。证明 任意取0xI，由于1( )n nux 在I上一致收敛，对任意给定的0，存在自然数N，使得对任意的xI，有3( )( )NS xSx（4.4）由于级数的每一项均在I上连续，部分和1( )( )NNn nSxux 也在I上连续，特别是在0x处连续，所以，存在0，使当0xx时，有03( )()NNSxSx由式（4.4）和式（4.5），得0000( )()(
10、)( )( )()()()NNNNS xS xS xSxSxSxSxS x这就证明了( )S x在0x处连续的。由0x的任意性可知，( )S x在区间I上连续。定理 4.4 若函数序列( )nfx在区间I上一致收敛于函数( )f x，且每一个( )nfx都是在I上连续，则( )f x在I上也连续。注：极限函数（级数的和）不连续，常常是判断不一致收敛的简单方法。如在区间0,1上连续函数列nx收敛于不连续的函数11( )01xf xx，所以必然是不一致收敛。例 4.3 22(1) 1nx x n 在0,1上不一致收敛。证明 因为当0x 时，级数的和为零；当0x 时，222222221 211 1(
11、1)1(1)1 101nn xxxxx xxxx nn 可见，00( )10xS xx。而22(1)( )nx nxux在0,1上连续，所以级数1( )n nux 在0,1上不能一致收敛。定理 4.5 若函数项级数1( )n nux 在区间 , a b上一致收敛于和函数( )S x，且级数的每一项( )nux都在区间 , a b上连续，则和函数可积，且可逐项积分，即11( )( )( )bbbnnaaannS x dxux dxux dx（4.6）证明 由定理 4.3 知，( )S x在 , a b上连续，因而可积。由于111( )lim( )lim( )lim( )nbbnkaannknbb
12、knaannkux dxux dxux dxSx dx只需证明( )lim( )bbnaanS x dxSx dx （4.7）注意到级数一致收敛，对0,N 当nN时，对所有的 , xa b，有 ( )( )nSxS x因而 ( )( )()bbbnaaaS x dxSx dxdxba这就证明了式（4.7）。定理 4.6 设( )nfx在区间 , a b上一致收敛于( )f x，且每一个( )nfx都是在 , a b上连续，则( )f x在 , a b上可积，并且可以逐项积分，即( )lim( )lim( )bbbnnaaannf x dxfx dxfx dx （4.8）定理 4.7 设级数1(
13、 )n nux 在区间I上处处收敛于和函数( )S x，如果它的各项( )nux都在I上又连续的导数，并且有导函数( )nux所组成的级数在I上一致收敛，则和函数( )S x在I上可微。并且可以逐项微分，即11( )( )( )d nndx nnS xuxux（4.9）证明 设*1( )( )n nSxux取, a xI，由式(4.6)得 *1( )( )xxnaanSxut dt但( )( )( )xnnnaut dtuxu a，这就是说， *11( )( )( )xnnannuxu aS t dt根据定理 4.3，*( )Sx在I上连续，所以111*1( )( )( )( )( )( )d
14、d nnndxdx nnnxd ndxanuxuxu aS t dtSxux定理 4.8 若函数序列( )nfx在区间I上处处收敛于函数( )f x，且每一个( )nfx都在I上有连续的导数( )nfx，又( )nfx在I上一致收敛，则极限函数( )f x在I上可微，并且( )lim( )nnfxfx 注：逐项求导后的级数的一致收敛性，是不能由原级数的一致收敛性代替的。例如，级数 22222sin(2)sin()sin 12xn xx n因为222sin()1n xnn ，级数211n n 收敛，由M判别法知，级数22sin()1n xn n 在任何区间上都是一致收敛的。但逐项积分后的级数22coscos(2)cos()xxn x因其通项不趋于零，所以级数的收敛域为空集。因此，原级数不可能逐项微分。注：1）求极限、求积分和求导数都可以与求和交换次序。因为求积分、求导数和求和也
