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1、4.6 函数,函数的定义和性质,2,4.6 函数定义及其性质,4.6.1 函数的定义 函数定义 从A到B的函数 4.6.2 函数的像与完全原像 4.6.3 函数的性质 函数的单射、满射、双射性 构造双射函数,3,函数定义,定义4.22 设 f 为二元关系, 若 xdomf 都存在唯一的yranf 使 x f y 成立, 则称 f为函数. 对于函数f, 如果有 x f y, 则记作 y=f(x), 并称 y 为 f 在 x 的值. 例如 f1=, f2=, f1是函数, f2不是函数 ,4,函数相等,定义4.23 设f, g为函数, 则 f=g fggf 如果两个函数 f 和 g 相等, 一定满
2、足下面两个条件： (1) domf = domg (2) xdomf = domg 都有 f(x) = g(x) 实例 函数f(x)=(x21)/(x+1), g(x)=x1 不相等, 因为 domfdomg.,5,从A到B的函数,定义4.24 设A, B为集合, 如果(1) f 为函数 (2) domf = A(3) ranf B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : AB. 实例 f : NN, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g : NN, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数,6,B上A,定义4.25 所有从A到B的函数的集合记作BA, 读作“B上A” 符号化表示为
3、 BA = f | f : AB 计数：|A|=m, |B|=n, 且m, n0, |BA|=nm.A=, 则 BA=B=. A且B=, 则 BA=A= .,7,实例,解BA = f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=, ,例1 设A = 1, 2, 3, B = a, b, 求BA.,8,例 判断以下各题中的f是否为从A到B的函数。,（1）A1，2，3，4，5，B6，7，8，9，10f,，, ,（2）A1，2，3，4，5，B6，7，8，9，10f,，,（3）A1，2，3，4，5，B6，7，8，9，10f,（4）A、B为
4、实数集。f(x)=x2-x,（5）A、B为实数集。f(x)=x2,（6）A、B为实数集。f(x)=x1/2,其中（1）（4）（5）是从 A到B的函数，其余的不是。,9,重要函数的定义,定义4.26 (1) 设f：AB, 如果存在 cB 使得对所有的 xA 都有 f(x)=c, 则称 f : AB是常函数. (2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所有的 xA 都有 IA(x)=x. (3) 设, 为偏序集，f : AB，如果对任意的 x1, x2A, x1x2, 就有 f(x1) f(x2), 则称 f 为单调递增的； 如果对任意的 x1, x2A, x1x2, 就有 f(
5、x1) f(x2), 则称 f 为严格单调递增的. 类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数.,10,重要函数的定义(续),(4) 设 A 为集合, 对于任意的 A A, A 的特征函数 A : A0,1 定义为,实例：设A=a,b,c, A的每一个子集 A都对应于一个特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 如 = ,，a,b = ,.,11,(5) 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g : AA/R g(a) = a, aA 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.,重要函数的定义(续),12,实例,给定集合 A 和 A 上的等价关系 R, 就可以确定一个自然映射 g :
6、AA/R. 不同的等价关系确定不同的自然映射, 其中恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然映射一般来说只是满射. 例如： A=1, 2, 3, 等价关系: R1=,IA 自然映射：g1(1) = g1(2) = 1,2, g1(3) = 3 等价关系：IA 自然映射：g2(1)=1, g2(2)=2, g2(3)=3,13,函数的像与完全原像,定义4.27 设函数 f : AB, A1A, B1B,称 f(A1) = f(x) | xA1 为A1 在 f 下的像，f(A) 称为函数的像. f1(B1)= x | xA f(x)B1 为B1 在 f 下的完全原像 注意:函数的像与值的区别
7、：函数值 f(x)B, 像 f(A1)B. A1f1(f(A1)， f(f1(B1)B1. 实例 11,2=f1(a)= f1(f(1) f(f1(b,c)=f(3)=bb, c,14,实例,1. 设 f : NN, 且令A=0,1, B=2, 那么有 f(A) = f(0,1) = f(0), f(1) = 0, 2 f(B) = f(2) = 1 2. A=1, 2, 3, B=a, b, c, f=,，则f1(a,b) =1,2,3, f1(b,c) =3,15,函数的性质,定义4.28 设 f : AB, （1）若ranf = B, 则称 f : AB是满射的. （2）若 yranf
8、都存在唯一的 xA使得 f(x)=y, 则称 f : AB是单射的. （3）若 f : AB既是满射又是单射的, 则称 f : AB是双射的f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x)=y. f 单射意味着：f(x1)=f(x2) x1=x2,16,例 判断以下各题中的f是否为从A到B的函数，并判断它们是否为单射、满射、双射函数。,（1）A1，2，3，4，5，B6，7，8，9，10f,，, ,（2）A1，2，3，4，5，B6，7，8，9，10f,，,（3）A1，2，3，4，5，B6，7，8，9，10f,（4）A、B为实数集。f(x)=x2-x,（5）A、B为实数集。f(x)=x2,（
9、6）A、B为实数集。f(x)=x1/2,17,实例,例2 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? （1）f : RR, f(x)= x2+2x1 （2）f : Z+R, f(x)=lnx, Z+为正整数集 （3）f : RZ, f(x)=x （4）f : RR, f(x)=2x+1 （5）f : R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.,18,解 (1) f : RR, f(x)= x2+2x1 (2) f : Z+R, f(x)=lnx(3) f : RZ, f(x)= x(4) f : RR, f(x)=2x+1(5) f : R+R+, f(x)=(x
10、2+1)/x,实例(续),在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.,单调上升, 是单射的. 但不满射, ranf=ln1, ln2, .,是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.,是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.,有极小值f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的.,19,构造从A到B的双射函数,有穷集之间的构造 例3 A=P(1,2,3), B=0,11,2,3 解 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B= f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=
11、, f7=,.,令 f : AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,3)=f7,20,实数区间之间构造双射 构造方法：直线方程 例4 A=0,1 B=1/4,1/2 构造双射 f : AB,构造从A到B的双射函数(续),解 令 f : 0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/4,21,A与自然数集合之间构造双射 方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始按照次序与自然数对应,构造从A到B的双射函数(续),例5 A=Z, B=N，构造双射 f : AB,将Z中元素以下列
12、顺序排列并与N中元素对应： Z：011 2233 N：0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是： ,22,4.7 函数的复合与反函数,4.7.1 函数的复合 函数复合的基本定理及其推论 函数复合的性质 4.7.2 反函数 反函数存在的条件 反函数的性质,23,函数复合的基本定理,定理4.6 设f, g是函数, 则fg也是函数, 且满足 (1) dom(fg)= x | xdomf f(x)domg (2) xdom(fg) 有 fg(x) = g(f(x) 证 先证明 fg 是函数. 因为 f, g 是关系, 所以 fg 也是关系. 若对某个 xdom(fg)，xfgy1和 xfg
13、y2, 则 fg fg t1(f g) t2(f g) t1t2 (t1=t2 g g) y1=y2 所以 fg 为函数.,24,证明,再证明结论 (1) 和 (2) . 任取x, xdom(f g) t y (fg) t (xdomf t=f(x) tdomg) x x | xdomf f(x)domg 任取x, xdomf f(x)domg f g fg xdom(fg)fg(x)g(f(x) 所以(1) 和 (2) 得证.,25,推论,推论1 设f, g, h为函数, 则(fg)h 和 f(gh)都是函数, 且 (fg)h = f(gh) 证 由上述定理和关系合成运算的可结合性得证.推论2 设f : AB, g : BC, 则 fg : AC, 且xA都有 fg(x) = g(f(x). 证 由上述定理知 fg是函数, 且 dom(fg) = x | xdomf f(x)domg = x | xA f(x)B = A ran(fg) rang C 因此 fg : AC, 且xA 有 fg(x) = g(f(x).,
