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1、4.1 广义胡克定律 4.2 弹性应变能函数 4.3 屈服函数与应力空间 4.4 德鲁克公设与伊留申公设 4.5 常用的屈服条件 4.6 增量理论 4.7 全量理论 4.8 塑性势的概念,第4章 本构关系,广义胡克定律,大量实验表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应力和应变之间存在着线性关系：,材料的变形属性与坐标无关。,三维：应力和应变关系的一般表达式为：,对于小变形问题，上述表达式展开成泰勒级数，并且略去二阶以上的高阶小量。,广义胡克定律,一、广义胡克定律,根据无初始应力的假设，（f 1)0应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应
2、变的一般关系表达式可以简化为,上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。,广义胡克定律,称为弹性系数，一共有36个。,广义胡克定律的张量表示：,如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn 是坐标x，y，z的函数。如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 因此cmn为弹性常数，与坐标无关。 各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。,广义胡克定律,证明：弹性状态下，各向同性弹性体，应力主轴与应变主轴重合。,证明：令x、y、z为主
3、应变方向，则剪应变分量为零。,引入新坐标，则新、旧坐标间的关系为：,在新坐标，弹性常数不变，则,广义胡克定律,由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：,由 (c)式代入 (b)式 ,可得出：,比较(a) , (b)可得： ，所以，必定有,同理可得：,因此，对于各向同性弹性体，主应变方向必为主应力方向。,广义胡克定律,证明：各向同性均匀弹性体的弹性常数只有两个。,证明：令坐标轴与主应力方向一致，则主应力与主应变间的关系为：,对 的影响应与 对 及 对 的影响相同，即,同理， 对 的影响应相同，即,因而有：,对于应变主轴，弹性常数只有两个。,广义胡克定律,具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的独立
4、常数有13个。,弹性对称面：如果物体内存在这样一个平面，和该平面对称的两个方向都具有相同的弹性，则该面称为物体的弹性对称面。,弹性主方向：垂直于弹性对称面的方向,各向异性弹性体独立的常数有21个。,系数矩阵对称,具有三个弹性对称面的各向异性弹性体（正交各向异性）的独立常数有9个。,广义胡克定律,证明：正交各向异性弹性体的独立常数有9个。,证明：取弹性主轴为三个坐标轴，将z轴旋转180度,(2-20),广义胡克定律,根据正交各向异性弹性体的性质可知：,代入广义胡克定律,对比以上两式可得：,同理可得：,广义胡克定律,将x轴旋转180度，采用和前面相同的方法，可得：,将y轴旋转180度，可得：,与前
5、一步骤相同,如果三个相互垂直的平面中有两个是弹性对称面，则第三个平面必然也是弹性对称面。,对称,广义胡克定律,广义胡克定律,二、各向同性弹性体广义胡克定律的几种形式,令坐标轴与主应力方向一致，则,1. 弹性拉梅弹性常数表示的广义胡克定律,坐标变换,称为拉梅弹性常数。,右图所示应力状态时，由材料力学可知：,比较以上式子可知：,分别为杨氏弹性模量和泊松比。,广义胡克定律,2. 用弹性模量和泊松比表示的广义胡克定律,将（4-3）式中的应变解出来，可得,（4-5）,（4-6，4-7）,代入广义胡克定律，得,张量记法：,广义胡克定律,表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。,3. 用应力偏量和
6、应变偏量表示的广义胡克定律,对比等式两边，可得：,广义胡克定律,广义胡克定义可写为,物体的变形可分为两部分：一部分是各向相等的正应力引起的相对体积改变；一部分是应力偏量引起的物体几何形状的变化。,表示变形前后单位体积的相对体积变形，,称为相对体积变形。,或,K称为弹性体积膨胀系数或体积模量。,广义胡克定律,对不可压缩材料，e = 0.,平面应变状态下， ，广义胡克定义可写为：,平面应力状态下， ，广义胡克定义可写为：,广义胡克定律,4. 平面应力状态下的广义胡克定律,平面应力,平面应变,广义胡克定律,广义胡克定律的张量表示：,各向同性弹性体的广义胡克定律：,广义胡克定律,拉梅系数：,弹性模量：
7、,偏量表示：,平面状态：,三、各向异性弹性材料的本构关系(应变表示应力）：,共有9个弹性常数。,用应力表示应变的本构关系：,张量记法：,其中，,广义胡克定律,弹性应变能函数,为单位体积的应变能,1. 单向应力状态：,y方向虽然有变形，但没有外力，因此，外力所作的总功为：,在不计动能和其他能量的消耗时，,应力在AD和BC边上所作的功为：,式中，,一、单位体积的应变能,弹性应变能函数,2. 三向应力状态：,由广义胡克定律可知：,称为应变能函数，因此，弹性变形能又称为弹性势。,弹性应变能函数,右侧两式成立:,应变能对任一应变分量的改变率等于相应的应力分量，而对于任一应力分量的改变率就等于对应的应变分
8、量。,二、弹性应变能,1. 性质,弹性应变能为正定的势函数，,系统的总应变能密度是一个不变量，与坐标选择无关,弹性应变能函数,不会引起单元体的形状改变。,体变能：由于体积变化所储存在单位体积内的应变能,2. 体变能,体积变化,弹性应变能函数,单元体的形状改变,3. 畸变能,弹性应变能函数,屈服函数与应力空间,因此，不同的内力组合，其屈服条件也不同。,一、屈服函数,简单的单向拉伸实验可以确定屈服应力。,复杂应力状态下，不同的内力组合产生的应力状态也不同。,屈服函数与应力空间,以三个主应力轴为坐标，屈服函数可写为：,屈服函数:,屈服条件与应力状态有关，因此,六维应力空间：以六个应力矢量所构成的抽象
9、空间。,上式表示一个在六维应力空间内的超曲面。 该空间内的任一点都表示一个屈服应力状态，因此又称为屈服面。,球张量不影响材料的屈服，因此，屈服函数又可写为：,屈服函数可化为应力偏量的函数，并在主应力空间内讨论。,屈服函数与应力空间,直线On：,On对应于球形应力状态（静水压力 状态），应力偏量为零。,平面：,对应于应力偏量分量过坐标原点与坐标面等倾的平面,二、屈服曲线的性质,与On正交的平面：,r表示沿On线方向由坐标原点到该平面的距离。,1. 屈服曲线,屈服函数与应力空间,P点和P1点的应力偏量相同,On和 平面构成一坐标系：,静水压力,应力偏量分量,过P点平行于On的线上的所有点都具有相同
10、的应力偏量。,空间变为平面,屈服曲线是平面上的一条封闭曲线,屈服面是以On为轴线，以屈服曲线为截面形状的一个与坐标轴成等倾角的柱体表面。只要确定了屈服曲线，就完全确定了屈服面。,屈服函数与应力空间,2. 屈服曲线的性质 屈服曲线是一条封闭曲线，而且坐标原点被包围在内。 屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。 屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。 屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。,屈服函数与应力空间,常用的屈服条件,一、最大剪应力条件最大剪应力达到某一数值时，材料就发生屈服。,设 ，在单向应力状态时,应力按从大到小排列，三向应力状态时：,纯剪屈服应力是简单
11、拉伸屈服应力之半。,材料力学中，最大剪应力屈服条件称为第三强度理论。,常用的屈服条件,最大剪应力条件,Tresca（1864）提出：,若主应力不按大小排序，则下面6个条件中的任意一个成立时，材料就开始屈服：,最大剪应力条件（特雷斯卡Tresca条件）：,以上式子中有一个成立，材料就开始屈服。,常用的屈服条件,二维应力状态,常用的屈服条件,二、畸变能条件与物体中一点的应力状态对应的畸变能达到某一数值时，该点便屈服。,畸变能：,(4-25),一般应力状态：,主应力状态：,常用的屈服条件,单向拉伸时（拉伸实验）：,k值的测定：,纯剪切应力状态时（薄管扭转实验）：,纯剪切屈服应力是简单拉伸屈服应力的
12、倍。,常用的屈服条件,三维应力状态的畸变能条件（米泽斯条件）：,二维应力状态的畸变能条件：,材料力学中的第四强度理论,或,常用的屈服条件,最大剪应力条件较简便，但由于忽略了中间主应力对屈服的影响，在某些情况下不够精确。畸变能条件比最大剪应力条件更接近于实验结果。,两种常用屈服条件的比较：,畸变能条件：,最大剪应力屈服条件:,常用的屈服条件,三、混凝土材料的屈服条件,屈服极限（脆性材料）：,实验表明，混凝土的屈服条件的图形与最大剪应力条件相似，两者的区别是受压和受拉屈服应力值不同。,混凝土实验曲线,常用的屈服条件,莫尔库仑条件：,令 分别为材料简单拉伸与压缩的屈服应力，则屈服条件为：,常用的屈服
13、条件,四、岩土的屈服条件,德鲁克普拉格条件：,其中，,c和 分别表示材料的粘性系数和内摩擦角。,米泽斯条件,常用的屈服条件,习题4-3 给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件,（1）受内压作用的封闭长薄管。,Mises屈服条件为：,Tresca屈服条件为：,例4-1,常用的屈服条件,常用的屈服条件,增量理论,塑性本构关系比弹性本构关系复杂得多，它不仅仅跟瞬时应力和应变有关，而且与应力历史有关，同时还与屈服条件密切相关。,塑性应力应变关系的特点：非线性和不唯一性,拉伸试验应力应变曲线,应力空间中，应力点移动的轨迹称为应力路径，这一过程称为应力历史。,一点处的应力进入塑性状态后，应变可分为两部分
14、：,弹性阶段： 应变可由应力直接用胡克定律求出。 塑性阶段：应变是应力和应力历史的函数。,塑性本构关系本质上是增量关系。,增量理论,一、塑性应变增量,塑性变形仅由应力偏量引起,应变偏量增量的分量为：,增量理论,应变偏量增量的分量：,将广义胡克定律代入上式,弹性阶段：,增量理论,在弹性阶段，应力偏量增量与应变偏量增量成比例，比例常数为2G。,塑性阶段，塑性应变增量为：,张量记法：,增量理论,二、增量理论的本构方程,假定：在塑性变形中的任一微小时间增量内，塑性应变增量与瞬时应力偏量成正比：,即,d为非负的标量比例系数，且可根据加载历史的不同而变化。,（4-65）,将（4-65）式代入（4-63）式
15、，可得,上式称为普朗特雷斯方程。,塑性应变增量依赖于该瞬时的应力偏量，而不是达到该状态所需的应力增量。应力主轴与塑性应变增量主轴重合,本构关系,增量理论,d的确定：,由（4-65）式有,上式中第一式减第二式得：,（4-67）,增量理论,两边平方后，得：,类似地，求出,上式可化为,于是得：,米泽斯屈服条件,增量理论,定义有效应力（应力强度）和有效塑性应变增量（塑性应变强度增量）为,则,增量理论,将 代入（4-67）得,或,普朗特雷斯方程的另一种形式，与米泽斯条件相关的本构关系。,增量理论,若忽略弹性应变部分，总的应变增量即为塑性应变增量：,莱维米泽斯方程,弹性与塑性本构关系的比较：,区别：胡克定律为全量关系，塑性本构方程为增量关系。,但两者的形式是类似的，只需将,不可压缩,非线性及对加载路线的依赖性,增量理论,全量理论,增量理论建立了塑性应变增量与应力偏量之间的关系。但如果知道了应力变化的历史（加载路径），则可通过积分得出应力和应变全量的关系。,全量理论（形变理论）企图直接建立用应力和应变终值（全量）表示与加载路径无关的塑性本构关系。,一般情况下，塑性应变与加载路线相关，所以，全量理论一般来说是不正确的，仅在一些特殊情况（如：比例加载）下才是可能的。,例如：对于一个受简单拉伸的杆件来说，若始终没有卸载，应力和应变之间就存在一一对应关系，这相当于一个非线性弹性力学问题。,
