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1、13.7 中心力運動及太空力學,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,1,如果質點運動時只受到一種永遠指向一固定點的力，此種運動稱為中心力運動（central-force motion）。這種形式的運動通常由靜電或重力造成。 考慮圖 13-22a 中的質點 P，具有質量 m 且只受到中心力 F 的作用。 此質點的自由體圖如圖 13-22b，使用極座標（r, ）其運動方程式為,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,2,方程式 13-11 的第二式可以寫成積分後可得到式中的 h 為積分常數。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,3,圖13-22a,9/2
2、5/2018,13.7 中心力運動及太空力學,4,圖13-22b,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,5,注意圖 13-22a 中 r 移動 d 的角度時，半徑 r 所行經的陰影部分的面積 dA 1/2 r2d。若面積速度（areal velocity）定義為由此式可了解受中心力作用之質點的面積速度為常數。也就是說，質點沿路徑移動時，在單位時間內經過相同的面積。 為了求得運動路徑 r f ()，需自方程式 13-11 中消去獨立變數 t。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,6,使用微積分的連鎖法則與方程式 13-12，方程式 13-11 中的時間導數可以用下式
3、取代將新的因變數 (xi) l/r 代入第二式，得到,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,7,此外，方程式 13-12 的平方為將上面兩式代入方程式 13-11 第一式可得或是此微分方程定義當質點受到中心力 F 的作用時，該質點的運動路徑。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,8,接著將以萬有引力作為中心力運動之應用，包括環繞地球迴轉的月球和人造衛星，以及環繞太陽的行星。考慮一個典型的太空力學問題，圖 13-23 中為人造衛星或太空船，以初速度 v0 發射到自由飛行軌跡上。假設此速度最初平行於地球表面的切線，如圖所示。當人造衛星剛開始自由飛行時，只有受到地心引力
4、的作用。依據牛頓萬有引力定律，中心力 F 永遠作用於地球和人造衛星的質心連線上，如圖 13-23 所示。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,9,此人造衛星受到一中心力的作用，本節所建立的方程式可以用來預測此人造衛星的運動。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,10,圖13-23,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,11,由方程式 13-1，此引力的大小為其中 Me 與 m 分別代表地球和人造衛星質量，G 為重力常數，r 為質心間的距離。 令前面方程式中 1/r，將其代入方程式 13-14，可得此二次常微分方程式含有常係數，且非齊次。其解為通解與
5、特解的和。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,12,通解為方程式等號右邊為零時的解，此解為此方程式代表衛星的自由飛行軌跡，這是以極座標表示的圓錐面截線方程式。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,13,方程式 13-16 代表人造衛星自由飛行時的軌跡，此軌跡是以極座標表示的圓錐截線，如圖 13-24 所示。圓錐截線的定義為：平面上 P 點到固定點 F 的距離與 P 點到固定直線之距離比為常數，所有 P 點的軌跡所連成的曲線即為圓錐截線。此固定點稱為焦點（focus），DD 固定線稱為準線（directrix）。而此常數比稱為圓錐截線的偏心率（eccentric
6、ity），以 e 表示，其定義為,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,14,圖13-24,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,15,亦可改寫成由圖13-24，或是將此式與方程式 13-16 比較可發現，焦點到準線的固定距離為,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,16,可知軌道圓錐截線的偏心率為假如極座標的 角是由 x 軸量起（亦即與 DD 準線垂直的對稱軸）， 角為零，參見圖 13-24，方程式 13-16 可簡化成h 和 C 兩個常數可由動力飛行軌跡結束點的位置和速度決定。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,17,例如，如果初
7、始高度或到太空船的距離為 r0（從地心量起），且在自由飛行開始時的初速率為0，參見圖 13-25，則常數 h 可以由方程式 13-12 求得。當 0 時，速度 v0 沒有徑向分量；所以，由方程式 12-25，0 r0(d/dt)，因此或,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,18,決定 C 時，以 0、r r0 代入方程式 13-19，並將 h 代入方程式 13-20：自由飛行路徑方程式因而成為,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,19,人造衛星的運動路徑的形式由方程式 13-18 的圓錐截線偏心率決定。如果,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,2
8、0,拋物線路徑 圖 13-25 顯示各種軌跡示意圖。由這些曲線可發現，人造衛星沿拋物線路徑運動時，永遠回不到發射原點，因此拋物線路徑可視為人造衛星無法返回發射點的邊界。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,21,圖13-25,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,22,人造衛星沿拋物線路徑進行所需的初始發射速度 v0 稱為逃離速度（escape velocity）。速率 e 可利用方程式 13-23 的第二式，e 1，再加上方程式 13-18、13-20 和 13-21 求解，此過程將當作習題； e 為圓形軌道 將人造衛星發射到圓形軌道所需的速率 c 可用方程式
9、13-23 的第一式（ e 0）推導而得。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,23,由方程式 13-18，e 為 h 和 C 的函數，C 必須為零才能滿足此方程式（由方程式 13-20，h 必不為零）；因此由方程式 13-21，可得如果忽略大氣摩擦，r0 為發射到達的最低高度，若發射速率小於 c ，則人造衛星重返大氣層，不是燒掉就是墜毀，如圖 13-25 所示。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,24,橢圓形軌道 所有行星及大多數的人造衛星所運行的軌跡皆為橢圓形，如圖 13-26 所示。對於一人造衛星繞行地球的軌道，距地心 O 點（位於橢圓的一個焦點上）之最
10、小距離為 rP，可利用 0 代入方程式 13-22 求得。因此此最短距離稱為軌道的近地點（perigee）。而遠地點（apogee）或稱最長距離 ra ，可利用 180 代入方程式 13-22 求得。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,25,因此如圖 13-26 所示，橢圓之半長軸 a 為利用解析幾何，可知半短軸 b 可利用下式求得,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,26,圖13-26,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,27,此外，橢圓的面積可用直接積分而得方程式 13-13 已定義面積速度，dA/dt h/2。積分後得 A hT/2，其中
11、 T 為週期（period），指繞行軌道一圈所需時間。 由方程式 13-30，此週期為,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,28,本節所推導的結論，除了可以預測地球軌道上人造衛星的運動之外，對於預測繞太陽各行星的軌道，其精確程度也頗令人讚嘆。在此情況之下，使用各公式時要將 Me 換成太陽的質量 Ms。德國天文學家克卜勒（Johannes Kepler）早在十七世紀初，就發現了行星以橢圓形軌道繞行太陽的事實，這項發現先於牛頓的運動定律和萬有引力定律，常成為證明這些定律的重要證據。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,29,克卜勒經過二十年觀察行星的結果，可以歸納成
12、下列三項： l. 太陽軌道上運行的任何行星，作一行星與太陽的連線，不論連線的長度如何，在相同的時間內此連線所經歷的面積相同。 2. 每個行星的軌道都是橢圓形，且太陽位於其中一個焦點上。 3. 任何行星週期的平方，都和軌道半短軸長的立方成正比。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,30,例題 13.13,一人造衛星由地表上空 600 km 處發射，其初速度為 30 Mm/h，方向和地表的切線平行，如圖 13-27 所示。假設地球的半徑為 6378 km，質量 5.976(1024) kg，試求 (a) 軌道的偏心率，(b) 人造衛星在遠地點的速度。,圖13-27,9/25/201
13、8,13.7 中心力運動及太空力學,31,解 (a) 軌道的偏心率可由方程式 13-18 求得。首先，方程式 13-20 和 13-21 可求出 h 和 C 兩個常數。因為所以,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,32,因此由方程式 13-23，可看出軌道為橢圓形。 (b) 人造衛星從圖 13-27 中的遠地點 A 以速度 vA 發射時，如果滿足下述條件則軌道維持不變利用方程式 13-27，可得,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,33,因此注意：因為 h 為常數，因此離地球愈遠的人造衛星，其運動速度愈慢。,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,34,END,9/25/2018,13.7 中心力運動及太空力學,35,
