非线性回归模型建立及案例

《非线性回归模型建立及案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性回归模型建立及案例（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第四章 非线性 回归模型,前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经济变量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关系。由此建立线性回归模型进行线性回归分析。这里所说的线性是指：（1）解释变量线性。（2）参数线性。但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间的关系，根据某种经济理论和对实际经济问题的分析，所建立的经济模型往往不符合上面的线性要求，即模型是非线性的，称为非线性模型(Non-linear Model)。非线性模型的参数如何进行估计，如何进行分析，是本章所要讨论的问题。,一、可化为线性模型的非线性回归模型二、不可化为线性模型的非线性回归模型 三、案例：非线性模型的应用,本章要点：,第

2、一节 可化为线性模型的非线性回归模型,对于变量之间是非线性的，但参数之间是线性的模型，可以利用变量代换的方法将模型线性化。下面列举在讨论经济问题时常遇到的几种非线性函数模型，进行变量的代换化为线性模型。,当解释变量是非线性的，但参数之间是线性的时，可以利用变量直接代换的方法将模型线性化。,下面列举在讨论经济问题时，经常遇到的几种非线性函数模型，进行变量的直接代换化为线性模型。,一、非线性回归模型的直接代换,1、多项式函数模型,对于形如,的模型为多项式模型。令,原模型可化为线性形式,即可利用多元线性回归分析的方法处理了。,例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线s = a + b r + c

3、r2 c0s：税收； r：税率,设 = r， = r2， 则原方程变换为s = a + b + c c0,例4.1.1 某生产企业在1981-1995年间每年的产量和 总成本如下表（表4.1.1），试用回归分析法确定其 成本函数。,表4.1.1,根据成本理论，成本函数可用产量的三次多项式 近似表示,运用Eviews进行回归,操作步骤为：quickemptygroupprocsmake equation.结果如下： 输出结果4.1.1,2、双曲线模型(Double-curve Model),则,即可利用一元线性回归分析的方法处理了。,例4.1.2 表4.1.2给出了美国1958-1969年间小时

4、收 入指数（Y）与城市失业率（X）的数据，试用回归分 析法解释二者之间的关系。,解：根据经济理论，二者之间的关系可以用双曲线模 型来表示,令,则,运用Eviews进行回归, 操作步骤为：quickempty groupprocsmake equation, 输出结果如下： 输出结果如下4.1.2,所以回归方程为,即,3、半对数模型和双对数模型,把函数形式为,（4.1.5）,(4.16),称为半对数模型。,把函数形式为,称为双对数函数模型。,(4.17),对于这两类函数可作如下代换，令,于是原模型可化为标准线性模型,(4.18),半对数模型通常用于测度许多经济变量和非经济变 量的增长率，所以半对

5、数模型又称为增长模型。,在实际工作中，双对数模型应用的非常广泛，其原 因在于，由于回归线是一条直线（y和x都是对数形 式），所以它的斜率（ ）为一常数。对于这个模型 其斜率等于其弹性，因为,所以弹性为一常数。由于这个特殊的性质，双对 数模型又称为不变弹性模型。,例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。,根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为,Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。,零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变,(*),(*),为了进行比较，将同时估计（*）式与（*）式。,4

6、、非线性回归模型的直接代换的应用举例,根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:,首先,确定具体的函数形式,对数变换:,考虑到零阶齐次性时,(*),(*),(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得,因此，对（*）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。,X：人均消费 X1：人均食品消费 GP：居民消费价格指数 FP：居民食品消费价格指数 XC：人均消费（90年价） Q：人均食品消费（90年价） P0：居民消费价格缩减指数（1990=100） P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100,中国城镇居民人均食品消费,特征： 消费行为在19811995年

7、间表现出较强的一致性 1995年之后呈现出另外一种变动特征。,建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:,(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34),按零阶齐次性表达式回归:,（75.86）(52.66) (-3.62),为了比较，改写该式为：,发现与,接近。,意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征,二、非线性回归模型的间接代换,在研究经济问题时，我们常遇到如下的指数函数模型,(4.1.9),其中， u为随机项， 为模型参数，很容易看出， 模型中参数也是非线性的，因此不能直接进行变量的代 换化为线性形式。,对（4.1.9）两边取对数（自然对数）可得,(4

8、.1.10),4.1.10）是双对数函数模型，可利用变量直接代换化 为线性形式。这种先取对数后进行变量代换的方法称为 间接代换法。,著名的柯布道格拉斯（CobbDouglas）生产函数模型,就是这类模型的一个典型，我们用下面的举例说明。,例4.1.5 表4.1.5列出了1955-1974年间墨西哥的产出y（用 国内生产总值GDP度量，以1960年不变价格计算，单位 为百万比索）、劳动投入x2（用总就业人数度量，单位 为千人）以及资本投入x3（用固定资本度量，以1960年 不变价格计算，单位业百万比索）的数据，试用回归分 析法解释在墨西哥国内生产总值产出中，各要素的贡献 及其产出特点。,表4.1

9、.5 墨西哥的实际GDP、就业人数和实际固定资本,解：根据表4.1.5提供的数据，运用Eviews3.1回归, 操作步骤为：quickempty groupprocsmake equation, 输出结果如下：输出结果4.1.5：,回归方程为： t = (-2.73) (1.83) (9.06) p = (0.0144*) (0.085) (0.000*) R2=0.995,对回归方程解释如下：斜率系数0.3397表示产出对劳 动报酬的弹性，即表明在资本投入保持不变的条件下， 劳动投入每增加一个百分点，平均产出将增加0.3397个 百分点。同样地，在劳动投入保持不变的条件下，资 本投入每增加一

10、个百分点，产出将平均增加0.8640个百 分点。两个弹性系数相对为规模报酬参数，其数值等 于1.1857，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的 （如果数值等于1，属于规模报酬不变；小于1，则属 于规模报酬递减）。,虽然资本对产出的影响看似大于劳动力对产出的影响， 但根据单边检验的结果，这两个系数各自均是统计显 著的（这是用单边检验，因为我们预期劳动力和资本 对产出影响都是正向的） 估计的F值也是高度相关的（因为p值几乎为零），因 此能够拒绝零假设：劳动力与资本对产出无影响。 R2值为0.995，表明劳动力和资本（对数）解释了大约 99.5%的产出（对数）的变动，说明了模型很好地拟合 了样本数据

11、。,第二节 不可化为线性模型的非线性回归模型,我们在上面讨论了非线性模型经过变量代换化为线 性形式。但在许多实际问题中所建立的非线性模型 非但不是线性的，而且也无法采取变量变换的方法 化为线性。例如模型,无论采取什么方式变换都不可能实现线性化，这样 的模型称为不可线性化模型。对于这一类模型的参 数估计，这里介绍一种常用的方法，即借助于泰勒 级数展开式进行逐次的线性近似估计。,这种方法的基本思路是：通过泰勒级数展开使非 线性方程在某一组初始参数估计值附近线性化， 然后对这一线性方程应用OLS法，得出一组新的 参数估计值。下一步是使非线性方程在新参数估 计值附近线性化，对新的线性方程再应用OLS法

12、， 又得了一组新的参数估计值。不断重复上述过程， 直至参数估计值收敛时为止。其步骤如下,设有模型,（4.2.2),式中，k为自变量的个数，p为参数的个数，f为 非线性函数。,利用泰勒级数展开式，将模型（4.2.2）展开作线性逼近,一、将非线性函数f对系数 的给定初始值展开为泰勒级数,(4.2.3),取式（4-2-4）右边的前二项，略去f展开式第三项及 以后所有项，即高阶项，作非线性模型的线性近似。,(4.2.4),二、对式（4.2.4）利用OLS估计出一组系数,三、重复（1）对 作另一次泰勒级数展开， 得到一新的线性近似，利用OLS估计出一组系数,四、如此反复，得出一点列 使其 收敛为止，即满

13、足下述条件,i=1,2,p,为一很小的值, 小到何种程度,根据需要而定.,五、如第四步得的点列不收敛，这时再选一组新的 初始系数值，重新作逐次线性近似估计。,例，设有模型,解：当 时，原模型成为线性模型，所以 参数的初始估计值可取 将模型右端函数 在 初始值 附近作泰勒展开并取 线性近似。,最后，需要说明非线性回归应注意的几个问题 第一，对非线性模型来说：首先，我们不能从回归 残差中得出随机项方差的无偏估计量。其次，由于 非线性模型中的参数估计量同随机项不成线性关系， 所以它们不服从正态分布，其结果使得t检验和F检 验都不适用。 第二，我们用上面的方法得出的样本回归方程，可以 用来预测未来某个

14、时期的因变量值，其计算公式如下：这里应该指出，由于已经不再是随机项的线性函 数，因此，已经不具备线性回归中估计值的最佳、线 性、无偏的性质，置信区间也无法构造了。,第三节 非线性模型的应用：山东省市场化进程的评价与预测,目前测度市场化测度有两种评价方法，即绝对化 评价法和现代化评价法（详见金玉国：市场化进程 的统计测度，统计研究，2000年第12期）。,思想、方法,想一想？,由于市场化相对指数并不是表明各地区本身“离理想 的市场经济还有多远”，而只是在比较各地区在朝市场 经济过渡的进程中谁的市场化改革程度相对更高一些， 谁相对更低一些，原因是什么，等等。所以，只适合 对不同地区的市场化进行横向

15、比较，而不适合对同一 个地区的市场化进程进行纵向监控。所以我们选用的 市场化程度的绝对评价方法，即通过市场化综合指数 的大小，测度山东省每年离理想的市场经济还有多大 距离，测度由计划体制向市场体制的转型的速度，离 体制转型的目标还有多远。尽管这种评价方法有其不 足之处，但对山东省现阶段面临的任务有很强的针对 性。具体方法是：,1.搜集每年全国各省份的有关数据。包括非国有工业 总产值占全部工业总产值的比重（x1）、非国有单位投 资占全社会投资总额的比重（x2）、出口额占GDP之比 重（经济外向化程度）（x3）、私营企业职工与国有部 门职工的比例（x4）、外商直接投资占全社会投资总额 的比重（x5）、地方财政收入占GDP之比重（x6）、居 民人均消费额（x7）、城乡居民消费比（x8）、第三产 业增加值占GDP的比重（x9）、人均GDP（x10）、失业 保险覆盖率（x11）和三项专利申请量、批准量与GDP之 比的平均数（x12）。,