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1、拉普拉斯变换及线性微分方程求解,拉普拉斯变换的定义 几种典型信号的拉氏变换 拉氏变换的积分下限 拉氏变换的基本性质 拉氏反变换 微分方程的求解,1、定义：函数f(t),t为变量。如下述线性积分 存在，则称其为函数的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。,(s为复变量 ),拉普拉斯变换及线性微分方程求解,一、拉普拉斯变换的定义,2. 记作：F(s)或Lf(t) 3. 拉氏反变换：,一、拉普拉斯变换的定义,1、单位阶跃函数,二、几种典型函数的拉氏变换,2.单位斜坡函数,二、几种典型函数的拉氏变换,3、等加速度函数 4、指数函数,5、正弦函数sint,6、单位脉冲函数,三、拉氏变换的积分下限问题,型拉氏变换,
2、型拉氏变换,1、线性性质 设F1(s)=Lf1(t),F2(s)= Lf2(t) ,a和b都是常数，则,四、拉氏变换的几个基本规则,2、微分法则 设F(s)=Lf(t) ，则,四、拉氏变换的几个基本规则,四、拉氏变换的几个基本规则,3、积分法则 设F(s)=Lf(t) ，则,4、终值定理 若函数f(t)的象函数为F(s)，且F(s) 在s平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则由终值,四、拉氏变换的几个基本规则,难点：F(s)在s平面的右半平面及除原点外的虚轴上解析。意思是：F(s)的分母，令分母等于零的根不在右半平面及除原点外的虚轴上，即位于左半平面及原点上。,五、拉普拉斯反变换,由F(s
3、)求f(t)常用部分分式法,五、拉普拉斯反变换,1、A(s)=0无重根,例： 求 的拉氏变换。 解： 求 于是,六、线性定常微分方程的解,例3 L=1H，C1F，R1，且电容上初始电压uc(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V，求电压uc(t)的变化规律。,解系统微分方程为,方程两边拉氏变换得,由于,将L，R，C， uc(0)，uc(0)，代入得到,由于Ur(s)=1/s，故有,拉氏反变换得,还可以用如下方法求解,系统的特征方程为,特征方根为,系统的特解为 uc(t)=1,齐次通解解为,系统的通解为,用待定系数法即可求出C1、C2。,考虑初始条件，对微分方程两边进行拉氏变换； 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式； 对输出量拉氏变换函数的表达式进行拉氏反变换。,拉氏变换求解微分方程的一般步骤,课堂练习：P64 - 2-5(2),作业： P70 2-5(选做一题),
