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1、模拟模型,北京航空航天大学经济管理学院,内容简介,建立模拟模型的准备知识 基本步骤 随机数的生成 模拟实验次数的确定 模拟结果的分析 蒙特卡洛模拟模型 是一种对依据若干概率输入变量而定的结果变量的分布进行估计的抽样试验方法 风险分析,第一节 建立模拟模型的准备,基本步骤 随机数的生成 模拟实验次数的确定 模拟结果的分析,一、模拟过程的五个基本步骤,建立所研究的系统或问题的理论模型 建立模拟模型 验证和确认模型 设计利用模型的试验 进行试验并分析结果,1建立所研究的系统或问题的理论模型,理解实际的系统或问题，能明确研究的目的和目标 用数学的方法来定义和表示系统 确定重要的输入变量和输出变量 规定
2、度量单位， 完成从实际模型到数学模型的抽象,2建立模拟模型,实现的方法： 在Excel中建立模拟模型 用专用计算机模拟语言（如SLAM）来开发模拟模型 实现的内容： 建立实现模拟必须的公式或方程 收集所有必须的数据 确定不确定输入变量及应有的概率分布 确定依概率分布的输出变量 构造输出结果的格式,3验证和确认模型,验证模型 确保模型没有逻辑错误的过程 确认模型 保证模型是实际系统和问题的合理描述 输入输出验证 将模型的输出数据和来自实际系统的类似数据进行比较,4设计利用模型的试验 确定所要研究的可控变量的值或所要回答的问题，以便对准决策者的目标 如常用的what-if分析所要确定的输入变量和输
3、出变量 5 进行试验并分析结果 调整可控变量的值，不断反复运行适当的模拟，以获得能进行正确决策所需的决策信息,二、模拟中随机数的生成,随机变量分类 连续随机变量由密度函数来定义 离散随机变量 由概率质量函数定义 参数基本类型 形状参数控制着分布的基本形状 尺度参数控制着分布范围内的测量单位 位置参数规定了分布相对于水平轴上零点的位置。,二、模拟中随机数的生成,常用的连续分布 均匀分布(Uniform Distribution) 正态分布(Normal Distribution) 三角形分布(Triangular Distribution) 指数分布(Exponential Distributi
4、on) 常用的离散分布 贝努里分布(Bernoulli Distribution) 二项分布(Binomial Distribution) 泊松分布(Poisson Distribution),二、模拟中随机数的生成,特定分布的随机数 逆变换法原理 离散分布的查表法 数据分析工具生成离散的随机数,二、模拟中随机数的生成,均匀分布 均匀分布的均值是： 均匀分布的方差是：生成均匀分布的随机数（产生a和b之间均匀分布的随机数）方法1:RANDBETWEEN (a，b)函数 方法2:线性变换公式 RAND()函数：产生一个由计算机算发生承德01之间均匀分布的伪随机数,二、模拟中随机数的生成,均匀分布【
5、例91】在工作表上模拟产生100个学生考试成绩。假设分数是从60分到90分的均匀分布的随机数，小数点后保留两位，并统计模拟随机数在各分数段的频率分布和绘图显示对应的直方图。,1）在Excel工作表的单元格中输入模型相关的文字和参数 2）产生100个均匀分布随机数定义单元格C5=ROUND($C$3+($C$4-$C$3)*RAND(),1)ROUND()函数用于保留指定变量后的小数点位数复制单元格C5计算公式，并粘贴至单元格区域E8:N17 3）计算一组数据的频率分布选中单元格区域C8:C16，输入计算公式=FREQUENCY(E8:N17,B8:B16)/COUNT(E8:N17)，最后同时
6、按“Ctrl+Shift+Enter”三个键，完成数组公式的输入，公式最外面自动加上一对“”号。 4）绘制分布的直方图 5）图形格式化通过对“数据系列格式”中的“选项”中“重叠比例”与“分类间距”、“依数据淀分色”的设置，可对图形进行美化。,绘制分布直方图小贴士： 不直接选择图表类型为“柱形图”而要先选择图表类型为“XY散点图”，最后再将图表类型变换为柱形图，这样操作比较方便 “XY散点图”的默认设置为选中的数据区域的第一列为X轴的刻度数据，第二列后为数据系列值Y，如果数据区的列数大于行数，则默认第一行为X轴的刻度数据，第二行后为数据值 “柱形图”默认设置为选中的数据区域的每一列都是数据系系列
7、值Y，X值的分类标志会自动加上1，2，3等。 何时使用均匀分布的随机数？ 一般而言，在对随机变量知之甚少时，常用均匀分布，这时候可根据判断或条件来选择参数a和b的大小。,二、模拟中随机数的生成,正态分布 正态分布的均值是： （位置参数） 正态分布的方差是： （尺度参数）,二、模拟中随机数的生成,正态分布 在Excel中对应的函数为NORMDIST（x， ， ，逻辑值），当逻辑值=true时，此函数为F (x)。当逻辑值=false时，此函数为p (x)。生成正态分布的随机数使用NORMINV（RAND( )，）函数 使用范围： 各种类型的误差、某些服务系统的处理时间都服从正态分布；作为中心极限
8、定理的推论，成批具有任意分布的随机变量的平均数也是服从正态分布的。许多分布（如X2分布、t分布、F分布）可用正态分布作为近似计算。,二、模拟中随机数的生成,正态分布 【例92】在工作表上模拟产生100个学生考试成绩。假设分数是均值为75分和标准差为5分的正态分布的随机数，小数点后保留两位，并统计模拟随机数在各分数段的频率分布和绘图显示对应的直方图。单元格C5计算公式为：=ROUND(NORMINV(RAND(),C3,C4),2),二、模拟中随机数的生成,指数分布 指数分布适用于构建在时间上随机重现的事件的模型。 指数分布的均值为： 指数分布的方差为：,指数分布 在Excel中对应的函数为EX
9、PONDIST（x， ，逻辑值），当逻辑值=true时，此函数为F (x)。当逻辑值=false时，此函数为p (x)。 常用指数分布作为各种“寿命”分布的近似。例如，常被用于机器、灯泡及其他机械或电子元件在失效前的工作时间建立模型，以及电话问题中的通话时间、随机服务系统中的服务时间、某一复杂系统中两次故障的时间间隔等。 指数分布的随机数产生将采用后面介绍的逆变换法原理。,4三角分布 三角分布由三个参数来定义：最小值a，最大值b，最可能值c 均值为：(a+b+c)/3，而方差为(a2 +b2+ c2-ab-ac-bc)/18其中，a是位置参数，b-a是尺度参数，而c是形状参数 三角分布常被用作
10、其他分布的粗略近似，因为它取决于三个简单参数且能形成各种形状，所以在缺少较完整数据时，为多种多样的假设建立模型时，非常灵活 三角分布的随机数产生将在逆变换原理中介绍,5常用离散分布 1）贝努里分布描述只有两个以常数概率p(0p1)和1-p出现的可能结果的随机变量的特性。0-1分布。 2）二项分布给出每次试验成功概率为p的n次独立重复贝努里试验的模型。随机变量X表示这n次试验中某事件出现的次数在Excel中对应的函数为BINOMDIST（x， n，p，逻辑值），当逻辑值=true时，此函数为F (x)。当逻辑值=false时，此函数为p (x)。二项分布的均值为np，方差为npq。 3）泊松分布
11、用于建立某种度量单位内发生次数模型的一种离散分布。很多取非负整数的离散随机变量都服从泊松分布。在Excel中对应的函数为POISSON（x， ，逻辑值），当逻辑值=true时，此函数为F (x)。当逻辑值=false时，此函数为p (x)。,6特定分布随机数的生成方法 1）基本方法：将一个或多个随机数经过线性变换生成需要分布的随机数如：X=a+(b-a)*RAND() 2）利用Excel提供的现成可用的某函数将随机数变换生成某分布的随机数如： NORMINV（RAND( )，） 3）逆变换法（inverse transformation method)对于其他分布的随机数的生成，既不能通过线性
12、变换生成，Excel中又没有提供现成的变换函数来生成，因此如何生成随机数确实是不明显。针对这种情况，一种广泛应用的方法是逆变换法。 4）离散分布的查表法 5）用Excel的数据分析工具生成离散的随机数,二、模拟中随机数的生成,7逆变换法原理 基本原理逆变换法是利用随机变量的累积概率分布函数F(x)的性质。由于F(x)是一个函数，所以每一个x的值都有一个与之相联系的唯一值F(x) 。因为F(x)是非降的，所以它的反函数存在。,基本原理 根据对任意随机变量x的累积分布函数具有性质0F(x)1的认识，因而只需生成一个01之间均匀分布的随机数RAND()，令他等于累积概率分布函数F(x)，然后求解出x
13、。,二、模拟中随机数的生成,7逆变换法原理 逆变换法原理在指数分布中应用 在Excel中对应的函数为EXPONDIST（x，逻辑值）。当逻辑值=true时，此函数为F(x)；当逻辑值=false时，此函数为p(x)。生成指数分布的随机数,逆变换法原理在三角分布中应用 若随机数RAND()落入左三角型则RAND()=(x-a)2/(b-a)(c-a) 若随机数RAND()落入右三角型则RAND()=1-(b-x)2/(b-a)(b-c)2/(b-a) y=p(x)0 a x c b x,二、模拟中随机数的生成,8离散分布的查表法 在Excel中使用函数RAND( )表示掷骰子 :C9=RAND(
14、 ) 方法1:C10=INDEX(D3:D7，MATCH(C9，B3:B7，1) 方法2:C10:=VLOOKUP(C9，B3:D7，3),对于离散分布中较常使用的泊松分布的随机数生成，由于Excel内建函数中没有相应的反函数来直接生成它的随机数，对于均值较小的泊松分布，先在D列中输入x，从0,1,2.,到某较大的自然数，再用POISSON(x, ,true)函数直接产生B列中的累积概率分，C列其实是可以不要的。最后采用上述的查表法生成随机数。 对均值较大的泊松分布，由于所要构造的表区域很大，采用这种方法很不方便，有一种变通的方法是采用正态分布的反函数NORMINV（RAND( )，）来构造，
15、原因是泊松分布的均值较大时，接近正态分布，并且偏离0较远。技术上还需要将生成的连续型随机数转换成离散型的，可采用取整函数INT()实现。,二、模拟中随机数的生成,9用数据分析工具生成随机数 第一步，加载数据分析工具 。 第二步，用“随机数发生器”生成随机数。,用随机数发生器生成随机数与直接用公式函数生成随机数进行比较有重要的不同： 用随机数发生器生成随机数一旦在工作表中生成，就固定不变了，除非重新调用随机数发生器 而直接用公式函数在工作表中生成随机数，这些随机数会随着工作表中任意单元格的重新计算而立即发生变化，也可以直接按F9键重新计算,三、模拟次数的选择,确定模拟的重复次数nn重复模拟次数 A置信区间的半径 S样本标准差 u1-/2是标准正态分布的分位数,三、模拟次数的选择,【例93】假设建立了某利润计算模拟模型，利润随机变量值模拟输出了100次。这100次的平均利润值为250元，标准差为50元，试问，如果我们想要保证平均利润估计值的误差至少有99%的把握在5元之内，我们必须模拟多少次利润值输出？ =1%,在Excel中可用函数NORMINV(0.995，0，1) =2.58 S=50,A=5,四、模拟结果的基本统计量,模拟结果的集中趋势的量度 模拟结果的偏离程度的量度 模拟结果的分布对称程度的量度 模拟结果的峰态程度的量度 模拟结果的相关性分析,
