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1、 平行四边形平行四边形1平行四边形的定义 (1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的定义有两层意思：是四边形；两组对边分别平行这两个条件缺一 不可 (2)表示方法： 平行四边形用符号“”表示平行四边形 ABCD 记作“ABCD” ，读作“平行四 边形 ABCD” (3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线 平行四边形的定义的作 用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形【例 1】对于平行四边形 ABCD，AC 与 BD 相交于点 O，下列说法正确的是( ) A平行
2、四边形 ABCD 表示为“ACDB” B平行四边形 ABCD 表示为“ABCD” CADBC，ABCD D对角线为 AC，BO 解析：解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选 C.答案：答案：C 2平行四边形的性质 (1)平行四边形的对边平行且相等例如：如图所示，在ABCD 中，ABCD，ADBC. 由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等如图 2，直线l1l2.AB，CD 是夹在直线 l1，l2间的平行线段，则四边形 ABCD 是平行四边形，故ABCD. (2)平行四边形的对角相等，邻角互补例如：如图所示，在ABCD 中， ABCCDA，BADBC
3、D.ABCBAD180，ABCBCD180， BCDCDA180，BADCDA180. (3)平行四边形的对角线互相平分例如：如图所示，在ABCD 中， OAOC，OBOD.图(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分 平行四边形的面积例如：如图所示，在ABCD 中，EF 经过对角线的交点 O，与 AD 和 BC 分别交于点 E，F，则 OEOF，且 S四边形 ABFES四边形 EFCD. 【例 2】ABCD 的周长为 30 cm，它的对角线 AC 和 BD 交于 O，且AOB 的周长 比BOC 的周长大 5 cm，求 AB，AD 的长分析：分析：依题意画出
4、图形，如图，AOB 的周长比BOC 的周长大 5 cm，即AOABBO(BOOCBC)5(cm)因为 OAOC，OB 为公共边，所以 ABBC5(cm)由 ABBC15(cm)可求 AB，BC，302再由平行四边形的对边相等得 AD 的长解：解：AOB 的周长比BOC 的周长大 5 cm，AOABBO(BOOCBC)5(cm)四边形 ABCD 是平行四边形，AOOC，ABBC5(cm)ABCD 的周长为 30 cm，ABBC15(cm)Error!得Error!AB10 cm，ADBC5 cm.3平行四边形的判定(1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的定
5、义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础关于边、 角、对角线方面还有以下判定定理 (2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图，连接 BD，由 ADBC，ABCD，可证明ABDCDB，所以 CDBABD，CBDADB，从而得到 ABCD，ADBC.由定义得到四边形 ABCD 为平行四边形其推理形式为： ABDC，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形 (3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形如图，由A=C，B=D，A+B+C+D=360， 可得B+C=180，A+B=180. 从而得到 ABDC，ADBC. 由定义得到四边形 ABCD 为平行四边形，其推理
6、形式为： A=C，B=D， 四边形 ABCD 是平行四边形 (4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形 其推理形式为： 如图，OA=OC，OB=OD，四边形 ABCD 是平行四边形 (5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 其推理形式为：如图，ADBC，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形 (1)判定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形【例 3】已知，如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，ABCD，AOCO.四边形 ABCD 是平行四边形，请说明理由解：解：因为 ABCD，所以BACDCA.
7、又因为 AOCO，AOBCOD，所以ABOCDO.所以 BODO.所以四边形 ABCD 是平行四边形4三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线(2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半 (1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段【例 4】如图所示，在ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，若ABC 的周长为 10 cm，则DEF 的周长是_cm.解析：解析：
8、由三角形的 中位线性质得，DF BC，EF AB，DE AC，121212所以DEF 的周长 105(cm)12 答案：答案：5 5两条平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间 的距离 如图所示，ab，点 A 在直线a 上，过 A 点作 ACb，垂足为 C，则线段 AC 的长是 点 A 到直线 b 的距离，也是两条平行线 a，b 之间的距离(1)如图，过直线 a 上点 B 作 BDb，垂足为 D，则线段 BD 的长也是两条平行线 a，b 之间的距离于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等(2)两条平行线之间的距离是指
9、垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值【例 5】如图所示，如果 l1l2，那么ABC 的面积与DBC 的面积相等吗？由此你 还能得出哪些结论？解：解：ABC 的面积与DBC 的面积相等因为 l1l2，所以它们之间的距离是一个定值所以ABC 与DBC 是同底等高的两个三角形所以 SABCSDBC.结论：l1上任意一点与 B，C 连接，构成三角形的面积都等于ABC 的面积，这样的三角形有无数个6平行四边形性质的应用 平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的 度数、求线段的长度、求图形的周长、求图
10、形的面积等 对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含 30角的直角三角形、三角形的 面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键 【例 6】如图，ABCD 的对角线相交于点 O，过 O 作直线 EF，并与线段 AB，CD 的反向延长线交于 E，F，OE 与 OF 是否相等，阐述你的理由解：解：OE 与 OF 相等理由：四边形 ABCD 是平行四边形，BEDF，OBOD，FDOEBO，EF.BOEDOF. OEOF.7平行四 边形的判定的应用 熟练掌握判定定理是平行四边形的判定的关键已学了平行四边形的五种判定方法， 记忆时要注意技巧，其中三种方法都与边有关： (1)一
11、种关于对边的位置关系(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)； (2)一种关于对边的数量关系(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)； (3)一种关于对边的数量与位置关系(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)平 行四边形的判定方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握 判定平行四边形的一般思路： 考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且 相等； 考虑对角关系：证明两组对角分别相等； 考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分 【例 7】如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形 ABCD 是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)关
12、系：ADBC，ABCD，AC，BC180. 已知：在四边形 ABCD 中，_，_； 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 分析：分析：选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时，证明一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形解：解：已知：，均可，其余均不可以举例如下：已知：在四边形 ABCD 中，ADBC，AC，求证：四边形 ABCD 是平行四边形证明：ADBC，AB180.AC，CB180.ABCD.四边形 ABCD 是平行四边形8平行四边形的性质和判定的综合应用
13、平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情况： (1)直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等 或互补、证明线段相等或倍分关系； (2)判定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等； (3)综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某 些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行 四边形 【例 8】如图所示，在ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 上的点，且 AECF，AF 与 BE 交于 G，DF 与 CE 交于 H，连接 EF，GH，试问 EF 与 GH 是否互相平分？为什么？
14、解：解：EF 与 GH 互相平分理由：在ABCD 中，ADBC，AECF，AECF.DEBF.四边形 AFCE，BEDF 都是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形)AFCE，BEDF.四边形 EGFH 是平行四边形(平行四边形的定义)EF 与 GH 互相平分9三角形的中位线性质的应用 三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关 系，借助三角形中位线的性质可以进行几何求值(计算角度、求线段的长度)、证明(证明线 段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等)、作图，且能解决生活实 际问题 应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给
15、出两个中点，若已知条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理【例 9】在ABC 中，AB12，AC10，BC9，AD 是 BC 边上的高将ABC 按 如图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则DEF 的周长为( )A9.5 B10.5 C11 D15.5 解析：解析：EDF 是EAF 折叠而形成的图形，EDFEAF.AEFDEF.AD 是 BC 边上的高，由折叠可知 ADEF，EFCB.AEFB，BDEDEF.BBDE.BEDEAE.E 为 AB 的中点同理点 F 是 AC 的中点EF 是ABC 的中位线DEF 的周长为EAF 的周长，即 AEEFAF (ABBCAC) (12910)15.5.1212 答案：答案：D10平行四边形的性质探究题 平行
