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1、2 抛物线抛物线(二二)课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线 方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用1抛物线的简单几何性质 设抛物线的标准方程为 y22px(p>0) (1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标 x 的取值范围是_，抛物线在 y 轴的 _侧，当 x 的值增大时，|y|也_，抛物线向右上方和右下方无限延伸 (2)对称性：抛物线关于_对称，抛物线的对称轴叫作_ (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的_抛物线的顶点为 _ (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线
2、的_， 用 e 表示，其值为_ (5)抛物线的焦点到其准线的距离为_，这就是 p 的几何意义，顶点到准线的距离为 ，焦点到顶点的距离为_p2 2直线与抛物线的位置关系 直线 ykxb 与抛物线 y22px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程_的解的 个数当 k0 时，若 >0，则直线与抛物线有_个不同的公共点；当 0 时，直 线与抛物线有_个公共点；当 0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，则有以下结论 (1)以 AB 为直径的圆与准线相切(2)|AB|2(x0 )(焦点弦长与中点坐标的关系)p2 (3)|AB|x1
3、x2p.(4)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2，y1y2p2.p24一、选择题 1顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(2,3)，它的方程是( )Ax2 y 或 y2 x9243By2 x 或 x2 y9243Cy2 x92Dx2 y43 2若抛物线 y22px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物 线焦点 F 的距离的关系是( ) A成等差数列 B既成等差数列又成等比数列C成等比数列 D既不成等比数列也不成等差数列 3已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物
4、线 准线的距离之和的最小值为( )A. B3 C. D.172592 4设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若 OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( ) Ay24x &nbs
5、p; By28x Cy24x Dy28x 5设直线 l1：y2x，直线 l2经过点 P(2,1)，抛物线 C：y24x，已知 l1、l2与 C 共有 三个交点，则满足条件的直线 l2的条数为( ) A1 B2 C3
6、 D4 6过抛物线 y2ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若 PF 与 FQ 的长分别为 p、q，则 等于( )1p1qA2a B. C4a D.12a4a题 号123456 答 案 二、填空题 7已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 yx 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P(2，2)为 AB 的中点，则抛物
7、线 C 的方程为_ 8已知 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，A、B 是抛物线 C 上的两个点，线段 AB 的中 点为 M(2,2)，则ABF 的面积等于_ 9过抛物线 x22py (p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30的直线，与抛物线分别交于 A、B两点(点 A 在 y 轴的左侧)，则_.|AF|FB| 三、解答题 10设抛物线 ymx2 (m0)的准线与直线 y1 的距离为 3，求抛物线的标准方程11过点 Q(4,1)作抛物线 y28x 的弦 AB，恰被 Q 所平分，求 AB 所在的直线方程能力提升能力提升 12设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA
8、l，A 为垂足， 如果直线 AF 的斜率为，那么|PF|等于( )3A4 B8 C8 D1633 13.已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点 (1)若|AF|4，求点 A 的坐标； (2)求线段 AB 的长的最小值1抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离2直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的
9、解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法” 2 抛物线抛物线(二二) 知识梳理 1(1)x0 右 增 (2)x 轴 抛物线的轴(3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p2 2k2x22(kbp)xb20 两 一 没有 平行或重合 一 作业设计 1B 由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程2A 设三点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则 y 2px1，y 2px2，y 2px3，2 12 22 3因为 2y y y ，所以 x1x32x2，2 22 12 3即|P1F| |P3F| 2，p2p2(|P2F|p2)所以|P
10、1F|P3F|2|P2F|.3A 如图所示，由抛物线的定义知，点 P 到准线 x 的距离 d 等于点 P 到焦点的距离|PF|.因12此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为点 P 到点(0,2)的距离与点 P到点 F 的距离之和，其最小值为点 M(0,2)到点 F的距离，则距离之和的最小值为 (12，0).4141724B y2ax 的焦点坐标为，过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y2，令 x (a4，0)(xa4)0 得 y .a2 4，a264，a8.12|a|4|a|25C 点 P(2,1)在抛物线内部，且直线 l1与抛物线 C 相交于 A，B 两点，过点 P的
11、直线 l2在过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意满足条件的直线 l2共有 3 条6D 可采用特殊值法，设 PQ 过焦点 F且垂直于 x 轴，则|PF|pxP (a4，0)a4a4 ，a4a2|QF|q ， .a21p1q2a2a4a 7y24x解析 设抛物线方程为 y2ax.将 yx 代入 y2ax，得 x0 或 xa， 2.a4.a2 抛物线方程为 y24x. 82 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y 4x1，y 4x2.2 12 2(y1y2)(y1y2)4(x1x2)x1x2，1.y1y2x1x24y1y2直线 AB 的方程为 y2x2，即 yx.将其代入 y
12、24x，得 A(0,0)、B(4,4)|AB|4.又 F(1,0)到 yx 的距离为，222SABF 42.122229.13解析 抛物线 x22py (p>0)的焦点为 F，则直线 AB 的方程为 yx ，(0，p2)33p2由Error!消去 x，得 12y220py3p20，解得 y1 ，y2.p63p2由题意可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知 .|AF|FB|y1p2y2p2p6p23p2p21310解 由 ymx2 (m0)可化为 x2 y，1m其准线方程为 y.14m由题意知2 或4，14m14m解得 m 或 m.18116则所求抛物线的标准方程为
13、 x28y 或 x216y.11解 方法一 设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有 y 8x1，2 1y 8x2，2 2Q(4,1)是 AB 的中点，x1x28，y1y22.，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)将代入得 y1y24(x1x2)，即 4，k4.y1y2x1x2所求弦 AB 所在的直线方程为 y14(x4)，即 4xy150.方法二 设弦 AB 所在直线方程为 yk(x4)1.由Error!消去 x，得 ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点 A、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得 y1y2 ，又 y1y22，
14、k4.8k所求弦 AB 所在的直线方程为 4xy150. 12.B 如图所示，直线 AF 的方程为 y(x2)，与准线方程 x2 联立得 A(2，43)3设 P(x0,4)，代入抛物线 y28x，得 8x048，x06，3|PF|x028，选 B.13解 由 y24x，得 p2，其准线方程为 x1，焦点 F(1,0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别过 A、B 作准线的垂线，垂足为 A、B.(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1 ，p2从而 x1413.代入 y24x，解得 y12.3点 A 的坐标为(3,2)或(3，2)33(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l的方程为 yk(x1)与抛物线方程联立Error!，消去 y，整理得 k2x2(2k24)xk20，因为直线与抛物线相交于 A、B 两点，则 k0，并设其两根为 x1，x2，则 x1x22.4k2由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p4>4.4k2当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线相交于 A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，所以，|AB|4，即线段 AB 的长的最小值为 4.
