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1、正方形的性质与判定正方形的性质与判定( (第第 2 2 课时课时) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 4 4 分分, ,共共 1212 分分) )1.下列命题中,是真命题的是 ( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【解析】选 C.由对角线判定平行四边形、矩形、菱形、正方形,对角线互相平分且相等是矩形,故选项 A 错误;对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形,故选项 B 错误;对角线互相平分的四边形是平行四边形,选项 C 正确;对角线互相平分且互相垂直、相等的四边形是正方形,故选项
2、D 错误. 2.如图,在ABC 中,ACB=90,BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交AB 于点 E,且 BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是 ( ) A.BC=AC B.CFBFC.BD=DFD.AC=BF【解析】选 D.EF 垂直平分 BC,BE=EC,BF=CF,BF=BE,BE=EC=CF=BF,四边形 BECF 是菱形.当 BC=AC 时,A=45,ACB=90,EBC=45,EBF=2EBC=245=90,菱形 BECF 是正方形.故添加 BC=AC 能证明四边形 BECF 为正方形;当 CFBF 时,利用正方形的判定得出,菱形 BECF
3、是正方形,故添加 CFBF 能证明四边形 BECF 为正方形; 当 BD=DF 时,利用正方形的判定得出,菱形 BECF 是正方形,故添加 BD=DF 能证明四边形 BECF 为正方形; 当 AC=BF 时,无法得出菱形 BECF 是正方形.3.已知四边形 ABCD,对角线 AC 与 BD 互相垂直.顺次连接其四条边的中点,得到新四边形的形状一定是 ( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【解题指南】四边形对角线互相垂直四个角都是直角矩形.【解析】选 B.如图:E,F,G,H 分别为各边中点,EFGHDB,EF=GH= DB,EH=FG= AC,EHFGAC,DBAC,EFEH,四边形
4、 EFGH 是矩形.【易错提醒】原四边形的对角线相等,得到的中点四边形是菱形;原四边形的对角线垂直,得到的中点四边形是矩形,容易混淆二者而导致错选 C.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 4 4 分分, ,共共 1212 分分) )4.如图,在 RtABC 中,ACB=90,D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点,连接DE,DF,EF,要使四边形 DECF 是正方形,只需增加一个条件为 .【解析】添加条件 AC=BC.D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点,DEBC,DE= BC,ACB=90,DEC=90,同理DFC=90,DF= AC,四边形 DECF 是矩形,又AC=BC
5、,DE=DF,四边形 DECF 为正方形.答案:AC=BC(答案不唯一)5.我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形.现有一个对角线分别为 6cm 和 8cm 的菱形,它的中点四边形的两条对角线长之和是 . 【解析】如图:E,F,G,H 分别为各边中点,EFGHAC,EF=GH= AC,EH=FG= BD,EHFGBD,DBAC,EFEH,四边形 EFGH 是矩形,EH= BD=3cm,EF= AC=4cm,HF=5(cm),中点四边形的两条对角线长之和是 5+5=10(cm).答案:10cm【互动探究】四边形 EFGH 的周长和面积分别是多少?【解析】四边形 EFGH 是矩形
6、,EH=3cm,EF=4cm,四边形 EFGH 的周长是 2(3+4)=14(cm),四边形 EFGH 的面积是 34=12(cm2).6.如图,四边形 ABCD 中,对角线 ACBD,且 AC=8,BD=4,各边中点分别为A1,B1,C1,D1,顺次连接得到四边形 A1B1C1D1,再取各边中点 A2,B2,C2,D2,顺次连接得到四边形 A2B2C2D2,依此类推,这样得到四边形 AnBnCnDn,则四边形 AnBnCnDn的面积为 . 【解析】若设 AC=a=8,BD=b=4,则由三角形的中位线定理可以知道:四边形A1B1C1D1是矩形且边长分别是 a, b,其面积 S1= ab;四边形
7、 A2B2C2D2是菱形,其对角线长分别是 a, b,其面积 S2= S1;四边形 A3B3C3D3是矩形,其边长分别是a, b,其面积 S3= S2= S1;四边形 A4B4C4D4是菱形,且对角线长分别是 a, b,其面积 S4= S3= S1,依此规律则四边形 AnBnCnDn的面积 Sn=S1=. 答案:(或或,只要答案正确即可)三、解答题三、解答题( (共共 2626 分分) )7.(8 分)如图,点 D 为线段 AB 的中点,点 C 为线段 AB 的垂直平分线上任意一点,DEAC 于点 E,DFBC 于点 F. (1)求证:CEDCFD.(2)若 AB=2a,问当 CD 为多少时,
8、四边形 CEDF 为正方形?请说明理由.【解析】(1)点 C 为线段 AB 的垂直平分线上任意一点,AC=CB,ABC 是等腰三角形,CDAB,ACD=BCD.DEAC,DFBC,DEC=DFC=90,EDC=FDC,在DEC 与DFC 中,ACD=BCD,CD=CD,EDC=FDC,DECDFC(ASA).(2)当 CD= AB=a 时,四边形 CEDF 为正方形.理由如下:CDAB,CDB=CDA=90,CD= AB,CD=BD=AD,B=DCB=ACD=45,ACB=90,四边形 ECFD 是矩形,DECDFC,CE=CF,四边形 ECFD 是正方形.8.(8 分)如图,点 O 是线段
9、AB 上的一点,OA=OC,OD 平分AOC 交 AC 于点 D,OF 平分COB,CFOF 于点 F (1)求证:四边形 CDOF 是矩形.(2)当AOC 为多少度时,四边形 CDOF 是正方形?并说明理由.【解析】(1)OD 平分AOC,OF 平分COB,AOC=2COD,COB=2COF,AOC+BOC=180,2COD+2COF=180,COD+COF=90,DOF=90.OA=OC,OD 平分AOC,ODAC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质),CDO=90,CFOF,CFO=90,四边形 CDOF 是矩形.(2)当AOC=90时,四边形 CDOF 是正方形.理由如下:AO
10、C=90,AD=DC,OD=DC.又由(1)知四边形 CDOF 是矩形,则四边形 CDOF 是正方形.因此,当AOC=90时,四边形 CDOF 是正方形.【培优训练】9.(10 分)已知:如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=CD,BC=2AD.DEBC,垂足为点 F,且F 是 DE 的中点,连接 AE,交边 BC 于点 G. (1)求证:四边形 ABGD 是平行四边形.(2)如果 AD=AB,求证:四边形 DGEC 是正方形.【证明】(1)如图,连接 AC,BE.DEBC,且 F 是 DE 的中点,DC=EC,即得DCF=ECF,又ADBC,AB=CD,ABC=DCF,AB=EC,ABC=ECF,ABEC,四边形 ABEC 是平行四边形,BG=CG= BC,BC=2AD,AD=BG,又ADBG,四边形 ABGD 是平行四边形.(2)四边形 ABGD 是平行四边形,ABDG,AB=DG,又ABEC,AB=EC,DGEC,DG=EC,四边形 DGEC 是平行四边形,又DC=EC,四边形 DGEC 是菱形,DG=DC,由 AD=AB,即得 CG=DC=DG,DG2+DC2=CG2,GDC=90,四边形 DGEC 是正方形.
