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1、第4章 插值法 4.1 引言 4.2 拉格朗日插值 4.3 逐次线性插值 4.4 牛顿插值 4.5 等距节点插值 4.6 反插值 4.7 埃尔米特插值 4.8 分段插值法 4.9 三次样条插值,定义 函数y=f(x)在区间a,b上有函数值,即 x0 x1 x2 xny0 y1 y2 yn,其中x0 ,x1,x2 ,xn是区间a,b上的互异点，要构造一个 简单的函数 作为f(x)的近似表达式，使满足,(插值条件 ),这类问题称为插值问题。,-f(x)的插值函数,f(x) -被插值函数,x0 ,x1,x2 ,xn -插值节点， a,b称为插值区间,求插值函数的方法称为插值法。,若xa,b，可计算f
2、(x) 的近似值(x), 则 x 称为插值点。,4.1 引言 4.1.1 插值问题及代数多项式插值 插值 已知某些(有限)点的函数值求其余点的函数值。,代数多项式插值 当选择代数多项式作为插值函数时，称为代数多项式插值。,定义(代数多项式插值) 设函数y=f(x)在a,b上已知 n+1个点 ax0x1xnb上的函数值y0, y1,yn 求一个次数不高于n的代数多项式,使满足插值条件,称P(x)为 f(x) 的n次插值多项式。,代数插值的特点：n次代数多项式插值满足在n+1个节点上插值多项式P(x) 和被插值函数y=f(x)相等，而且插值多项式P(x)的次数不超过n次。,定理 n+1个互异节点处
3、满足插值条件的n次代数多项式 是唯一的。,证,其系数行列式,方程组有唯一解,，因此P(x)存在且唯一。,4.1.2 代数多项式插值的唯一性,唯一性说明不论用那种方法构造的插值多项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互相恒等的。推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时，其n次插值多项式就是f(x)本身。例 在直线上取两个点进行插值，插值多项式就是这条直线。在二次抛物线上取三个点进行插值，插值多项式就是这条二次抛物线。在直线上取三个点进行插值，插值多项式还是这条直线。在二次抛物线上取四个点进行插值，插值多项式也是这条二次抛物线。,4.1.3 插值的几何意义,几何意义是一条经过平面上 n+1个节点
4、， 的n次抛物线 y=P (x),近似代替曲线 y=f(x)。,4.2 拉格朗日插值 4.2.1 线性插值(二点一次插值）,1 定义,已知f(x0)=y0，f(x1)=y1 , x0x1,要构造线性函数 P(x)=a0 + a1 x , 使满足插值条件 P(x0)=y0 , P(x1)=y1 .,2 表达式 拉格朗日插值多项式,公式的结构：它是两个一次函数的线性组合,线性插值基函数,线性插值的几何意义 用直线 近似代替被插值函数 。,例 造数学用表。平方根表给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性插值求115的平方根。,解 x0=100, x1=121, x=115,抛物线（二次）
5、插值: (三点二次插值）,1 定义 已知f(x)在三个互异点x0 ,x1 ,x2的函数值y0 ,y1 ,y2,构造一个次数不超过二次的多项式,使满足插值条件,2 公式的构造：拉格朗日二次插值多项式满足插值条件,例 造平方根表 已知100，121，144的平方根，计算115的平方根的近似值。,解,二次插值也称为抛物插值。当三点(x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),(x2 ,y2 )位于一条直线上时，显然插值函数的图形是直线。,4.2.2 拉格朗日插值多项式定理 若,则,lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,n)的n次插值基函数。,基函数的特点 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点
6、的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。,定理 n次拉格朗日插值多项式,证 基函数是关于x的n次多项式，所以p(x)是关于x的不超过n次的多项式。 又满足插值条件。,拉格朗日三次多项式,n次拉格朗日插值多项式,又,其中 可以证明则,4.2.3 插值余项和误差估计： 余项(截断误差),定理 设函数f(x)在包含节点x0 , x1 , xn的区间a,b上有n+1阶导数，则,其中,证 令x是区间a,b上任一固定点，当x=xi (i=0,1,n) 时，由插值条件知R(xi)=0，左=右，结论显然成
7、立。,(a,b),当x是a,b上除节点外任一个固定点时，作辅助函数,当 t=x, x0 , x1 , xn时 F(t)=0，F(t)在区间a,b上至少有n+2个互异的零点x, x0 , x1 , xn。根据罗尔定理， F(t)在连续函数F(t)每两个零点之间有一个零点。即F(t)在(a,b)内至少有n+1个互异的零点， F(t) 在(a,b)内至少有n个互异零点。依此类推，可知 F(n+1)(t)在(a,b)内至少有一个零点，即F(n+1)()=0，辅助函数两端对t求n+1阶导数，并比较其两端，有从而 结论成立。,当插值点x(a,b)时称为内插，否则称为外插。 内插的精度高于外插的精度。,线性
8、插值多项式的截断误差为,是在包含x, x0 , x1 的区间内某数。,例1 给定函数y=lnx在两点10、11的值如下表，试用线性插值求ln10.5的近似值，并估计截断误差。,解 f(x)=ln x , x0=10, x1=11, x=10.5,ln 10.5P1(10.5)=,4.3 逐次线性插值,逐次线性插值解决拉格朗日插值为提高精度增加插值节点时，要重新计算全部基函数，整个插值多项式的结构都会改变的问题。,4 .3.1 三个节点的情形,已知 f(x) 在三个互异节点x0 ,x1 ,x2的函数值y0 ,y1 ,y2 用（x0 ,y0 ), (x1 ,y1 )做插值,用（x0 ,y0 ),
9、(x2 ,y2 )做插值,用（x1,P01 ), (x2 ,P02 )做插值,上式即是拉格朗日二次插值多项式。 两个线性插值的结果再进行线性插值，得到抛物线性插值。,三个节点的情形写成表格的形式, 的近似值为1.5。,已知f(x)在三个互异点 0,1,2的函数值1,3,9 用（0,1 ), (1,3 )作插值,用（0,1 ), (2,9 )作插值,用（1,P01), (2 ,P02 )作插值,4.3.2 埃特金插值,4.3.3 内维尔插值,4.4 牛顿插值,牛顿插值解决拉格朗日插值为提高精度增加插值节点时，要重新计算全部基函数，整个插值多项式的结构都会改变的问题。差商及其性质,牛顿插值多项式。
10、,零阶差商定义为函数值本身，即,4.4.1 差商（均差）及其性质 1 差商的定义 差商是函数增量与其自变量的增量的比(商)。,函数f关于点xi ,xj的一阶差商 一阶差商是函数f在区间xi ,xj 的平均变化率。 二阶差商 是一阶差商在区间的平均变化率,例如 设 则,函数f的n阶差商,高阶差商是由比它低一阶的两个差商的差商组成。 例如,差商表,（1） n 阶差商 是函数值 的线性组合，即（2） 差商具有对称性：任意改变节点的次序差商值不变。例如 f0,2,4 = f2,0,4 = f4,2,0等。,2 差商的性质,按差商的定义,4.3.2牛顿插值公式1。牛顿插值公式的建立,牛顿插值多项式 (f
11、(x)的前n+1项）,牛顿插值余项 (f(x)的最后一项）,牛顿插值多项式的构成,2。牛顿插值的特点(1) P(x)次数不超过n次，项数不超过n+1项。各项系数是差商表上对角线的各阶差商值。(2) P(x)满足插值条件，在节点上f(xi )=P(xi ) .(3) 增加一个节点，只需增加一项。,n次牛顿插值多项式,计算牛顿插值多项式的步骤(1) 作差商表. (2) 写出牛顿插值多项式（表中对角线上各差商值就是P(x)的各项系数）。(3) 计算插值点的近似值。,余项公式,又证:牛顿插值多项式,根据线性插值的点斜式,可得牛顿差商型线性插值多项式：,设,由,可得,牛顿差商型二次插值多项式：,解 先作
12、差商表,xi,f(xi ),1阶,2阶,3阶,4阶,0.40 0.55 0.65 0.80 0.90,1.11601.18601.27571.3841,0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652,0.2800 0.3588 0.4336,0.191 0.214,0.034,由Newton公式得四次插值多项式,4.4.3 差商和导数 若 f(x) 在a,b 上存在n 阶导数，由余项表达式可得，n 阶差商与导数有如下关系,例 求n次多项式的n 阶差商。,4.6 反插值,4.8 分段插值法给定 (x-5,5)。取等距节点xi=-5+i(i=0,1,10), 试建立
13、插值多项式L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。,分段三次埃尔米特插值 为了避免Runge现象的发生, 很自然地会想到把区间-5, 5等分为10个小区间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由于每个小区间只有两个端点（插值节点）, 按照已知的方法, 得到的将是一个分段线性插值函数。,已知xi,f(xi),f(xi)(i=0,1,n),求分段三次插值函数H(x)满足H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi) i=0,1,n 为了得到插值函数,考虑任意子区间xi,xi+1,i(0,1,n-1), 采用Lagrange插值函数结构, 在第i个子区间上 H(x)=f(xi
14、)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f(xi)h3(x)+f(xi+1)h4(x)这样，就把H(x)的构造问题转化为四个插值基函数hk(x)(k=1,2,3,4)的构造问题。,4.9 三次样条插值,“样条”一词本来是指在飞机或轮船设计过程中为了 描绘出光滑的外形曲线所用的一种工具，即一个具 有弹性的细长木条。事实上，在作了某些近似简化 后，样条的数学模型并不复杂，它只是分段的三次 多项式曲线：在相邻两块压铁之间是三次多项式曲 线；在压铁处，左右两段曲线的切线和曲率是连续的。,定义 给定a,b的分划：a=x0x1xn=b, 如果函数s(x)在区间a,b上满足以下条件：（1）在每一个子区间（xi,xi+1）(i=0,1,n-1) 上s(x)是三次多项式； （2） s(x)在区间a,b上具有二阶连续导数； （3）s(xi)=yi(i=0,1,n),s(x0)=y0,s(xn)=yn。称s(x)为三次样条函数。,
