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1、第十八章概率论初步与基本统计方法18.1 随机事件和古典概型基础练习1在 60 件产品中，有 30 件是一等品，20 件是二等品，10 件是三等品，从中任取 3 件，试计算：（1）3 件都是一等品的概率（2）2 件是一等品、1 件是二等品的概率（3）一等品、二等品、三等品各有 1 件的概率解：（1）3 30 3 60C7 C59 （2）21 3020 3 60CC15 C59 （3）111 302010 3 60711CCC300 C12盒中有规格相同的红、白、黑手套各 3 只，从中任意摸出 2 只恰好配成同色的概率为多少？解：先选一个颜色出来，然后从同色中的 3 只中任选 2 只出来，则12
2、 33 2 9C C1 C43某班 36 人的血型情况为：A型血 12 人，B型血 10 人，AB型血 8 人，O型血 6 人，若从班里随机叫出两人，两人血型相同的概率是多少？解：2222 121086 2 36CCCC11 C454一枚硬币连掷四次，试求：（1）恰好出现两次是正面的概率（2）最后两次出现正面的概率解：（1） 2 4 4C3 28P A （2） 2421 24P B 5从一副去掉王牌的牌（52 张）中，任取 4 张，求下列情况的概率：（1）取出 4 张全是A（2）取出 4 张的数字相同（3）取出 4 张全是黑桃（4）取出 4 张的花色相同解：取出 4 张有4 52C个结果（1）
3、4 张全是“A”记为随机事件A，只有一个结果，4 手长为 4 个花色的A，故 4 5211 C270 725P A （2）取出 4 张的数字相同记为随机事件B，52 张牌中共有 13 种数字，每种数字有 4 个花色所以随机事件B包括1 13C个基本事件，故所求随机事件概率为 1 13 4 52C1 C20825P B （3）取出 4 张全是黑桃记为随机事件C，13 张黑桃中取出 4 张，所以有 4 13 4 52C11 C4165P C （4）取出 4 张相同花色记为随机事件D，4 种花色选一种1 4C，在选出的花色中 13 张牌再选出 4 张相同花色4 13C，故随机事件D共有14 413C
4、 C个基本事件，故 14 413 4 52C C CP D 6把 4 个相同的球放进 3 个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的求：（1）没有一个空盒子的概率（2）恰有一个空盒子的概率解：4 个相同球放进 3 个不同的盒子，先加进 3 个球，变成 7 个相同球，放进 3 个不同盒子，保证每个盒子至少一个球，用隔板法解决，有2 6C个结果，再将多加进的球取出（1） “没有一个空盒子”记为随机事件A，4 个相同球放进 3 个不同的盒子，每个盒子至少一个球，用隔板法解决，有2 3C个结果，故 2 3 2 6C1 C5P A （2） “恰好有一个空盒子”记为随机事件B，先选一个盒子1 3C，4 个相同
5、球放进 2 个不同盒子，每个盒子至少一个球，所以随机事件B包含1 3C个结果，故 11 33 2 6C C3 C5P B 7抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率 （2）事件“点数之和小于 7”的概率解：（1）61 366P （2）事件“点数之和小于 7”为（1，1） ， （1，2） ， （1，3） ，（1，4） ， （1，5） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，1） ， （3，2） ， （3，3） ， （4，1） ，（4，2） ， （5，1） ，则概率为15 36P 8A、B、C、D、E五人分四本不同的书，每人至多分一本求：（1）A不
6、分甲书，B不分乙书的概率 （2）甲书不分给A、B，乙书不分给C的概率解：（1）4113 4333 5 5AA A A13 A20（或314 344 555 555AAA1AAA） （2）4113 4233 5 5AA A A1 A29一批产品共有 82 只，其中 6 只特级品，现任意取出 2 只，求：（1）全是特级品的概率 （2）只有 1 只是特级品的概率 （3）都不是特级品的概率解：（1） 2 6 2 82C5 C1107P A （2） 11 676 2 82C C152 C1107P B （3） 2 76 2 82C CP C 10有九张卡片分别写着数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9
7、，甲、乙两人依次从中各抽取一张卡片（不放回） （1）求甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字的概率（2）求甲、乙两人至少抽到一张奇数数字卡片的概率解：（1） 11 54 2 9C C205 P7218P A ；（2） 2222 121086 2 36CCCC11 C45P A11设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住nN，求下列事件的概率：（1）指定的n个房间各有一个人住（2）恰好有n个房间，每问各住一个人解：由于每个人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式共有nN种，它们是等可能的，则（1）指定n个房间各有一个人住记作事件A：可能的总数为n!则 !nnP AN（2
8、）恰好有n个房问其中各住一人记作事件B，则这n个房间从N个房间中任选共有CnN个，由（1）可知： ! !n N nnCnNP BNNNn12有 5 个 1 克砝码，3 个 3 克砝码和 2 个 5 克砝码，任意取出 3 个砝码，求：（1）其中至少有 2 个砝码同样重量的概率（2）3 个砝码总重量为 7 克的概率解：（1）3111 10532 3 10CC C C3 C4 （2）2121 3552 3 10C CC C7 C24能力提高13由数据 1，2，3 组成可重复数字的三位数，试求三位数中至多出现两个不同数字的概率解：23 337 27279 14从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A
9、“抽到的是一等品” ，事件B “抽到的是二等品” ，事件C “抽到的是三等品” ，且已知 0.7P A ， 0.1P B ， 0.05P C ，求下列事件的概率：（1）事件D “抽到的是一等品或二等品” （2）事件E “抽到的是二等品或三等品” 解：（1） 0.70.10.8P DP ABP AP B（2） 0.10.050.15P EP BCP BP C15从 1 到 9 九个数字中不重复地取出 3 个组成 3 位数，求：（1）这个 3 位数是偶数的概率（2）这个 3 位数是 5 的倍数的概率（3）这个 3 位数是 4 的倍数的概率（4）这个 3 位数是 3 的倍数的概率解：9 个数字中取出
10、 3 个组成 3 位数，有3 9P个结果（1） “3 位数是偶数”记为随机事件A，有12 48P P个结果， 12 48 3 9P P PP A （2） “3 位数是 5 的倍数”记为随机事件B，末尾须是 5，故随机事件B包含2 8P个结果，所以 2 8 3 9P1 P9P B （3） “3 位数是 4 的倍数”记为随机事件C，3 位数是 4 的倍数须后两位能被 4 整除， 后两位可以是 12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、94、98，只要定下百位即可，所以随机事件C包含1 716P个结果，故 1 7 3 916P PP C （4） “3 位数是
11、 3 的倍数”记为随机事件D，3 位数是 3 的倍数须各个位置上的数字之和能被 3 整除，9 个数字，其中 3、6、9 能被 3 整除，1、4、7 被 3 除余 1，2、5、8 被 3 除余 2，所以 3 位数被 3 整除包括 4 种情况：三个数字均被 3 整除；三个数字都被 3 除余 1；三个数字都被 3 除余 2；三个数字一个被 3 整除、一个被 3 除余 1、一个被 3 除余 2，故 2333111 33333333 9PCCCC C C5 P14P D16某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站（包括起点站和终点站） ，在起点站开出的一辆公共汽车上有 6 位乘客，假设每位乘客在起点站之外
12、的各个车站下车是等可能的求：（1）这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率（2）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率解：（1）6 10 64P1512 1010P ；（2）33 6 65C91458 1010P17在某次数学考试中，甲、乙、丙三人及格（互不影响）的概率分别是04、02、05，考试结束后，最容易出现几个人及格？解：（1）三人都及格的概率10.40.20.50.04P ，（2）三个人都不及格的概率20.60.80.50.24P ，（3）恰有两人及格的概率30.40.20.50.40.80.50.60.20.50.26P ，（4）恰有一人及格的概率410.040.240.2
13、60.46P 由此可知，最容易出现的是恰有一人及格的情况182 频率与概率基础练习1一个容量为 20 的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20，2；（20，30，3；（30，40，4；（40，50，5；（50，60，4；（60，70，2则样本在区间50在上的频率为_解：0.72一个容量为 40 的样本数据分组后组数与频数如下：（25，253，6；（253，256，4；（256，259，10；（259，262，8；（262，265，8；（265，268，4；则样本在（25，259上的频率为_解：05 在3为了了解中学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得
14、数据整理后，画出频率分布直方图（如图 183） ，已知图中从左到右前三个小组的频率分别为01 在，03 在，0 4 在，第一小组的频数为 5图 18-3124.599.574.549.5149.5次数组距频率则第四小组的频率_；参加这次测试的学生有_人解：0 2 在；254下列说法正确的是（ ） A任何事件的概率总是在（0，1）之间B 概率是随机的，在试验前不能确定C 频率是客观存在的，与试验次数无关D 随着试验次数的增加，频率一定会越来越接近概率解：正确选项为D5：连续抛掷 10 次硬币，出现 5 次“正面朝上”的概率是（ ） A变化的量，不同的人得到的概率也不同B模拟的次数不同，其概率也不
15、同C1 2D是个确定的值，但不是1 2解：正确选项为D6某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数 n102050100200500击中靶心次数 m9194591179456击中靶心的频率m n（1）计算表中击中靶心的各个频率（2）这个射击手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解：（1）09 在，095在，09 在，091在，090在，091在 （2）091在能力提高7从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是_解：从矩形中选三角形，正方体中一共有 12 个矩形3 4 3 812C6 C78设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程20xbxc实根的个数（重根按一个计） （1）求方程20xbxc有实根的概率（2）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程20xbxc有实根的概率
