4.3角（基础）知识讲解

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1、角（基础）知识讲解角（基础）知识讲解撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标学习目标】 1掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题 【要点梳理要点梳理】 【高清课堂：角高清课堂：角 397364 角的概念角的概念】 要点一、角的概念要点一、角的概念 1 角的定义：角的定义： （1 1）定义一：）定义一：有公共端点的两

2、条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边如图 1 所示，角的顶点是点 O，边是射线 OA、OB（2 2）定义二：）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角 的内部如图 2 所示，射线 OA 绕它的端点 O 旋转到 OB 的位置时，形成的图形叫做角， 起始位置 OA 是角的始边，终止位置 OB 是角的终边 要点诠释：要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无 关 （2）平角与周角：如图 1 所示射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一 条直线时，所形成的角

3、叫做平角，如图 2 所示继续旋转，OB 和 OA 重合时，所形成的角 叫做周角2. .角的表示法：角的表示法：角的几何符号用“”表示，角的表示法通常有以下四种：图 1图 2要点诠释：要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或 小写希腊字母 3.3.角的画法角的画法 （1）用三角板可以画出 30、45、60、90等特殊角 （2）用量角器可以画出任意给定度数的角 （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角 要点二、要点二、角的比较与运算角的比较与运算 1.1.角度制及其换算角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成 360 等份，每一份就

4、是 1的角，1的1 60为 1 分，记作“1” ，1的1 60为 1 秒，记作“1” 这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制1 周角360，1 平角180，160，160 要点诠释：要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位 得数大于 60 时要向高一位进位 2.2.角的比较：角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种 方法 1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小 方法 2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较 如比较AO

5、B 和AOB的大小： 如下图，由图（1）可得AOBAOB；由图(2)可得AOBAOB；由图(3)可得 AOBAOB3.3.角的和、差关系角的和、差关系 如图所示，AOB 是1 与2 的和，记作：AOB1+2；1 是AOB 与2 的差，记作：1AOB-2要点诠释：要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；重合(一 边与刻度尺上的零度线重合)；读数(读出另一边所在线的度数)(2) 利用三角板除了可以做出 30、45、60、90外，根据角的和、差关系，还可以 画出 15，75，105，120，135，150，165的角 4.4.角平分线角平分线 从一个角的顶点

6、出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如 图所示，OC 是AOB 的角平分线，AOB2AOC2BOC，AOCBOC =1 2AOB要点诠释：要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样 要点三、要点三、余角和补角余角和补角1. .定义：定义：一般地，如果两个角的和等于 90(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个 角是另一个角的余角类似地，如果两个角的和等于 180(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角 是另一个角的补角 2性质：性质：（1）等角的余角相等 （2）等角的补角相等 要点诠释：要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互

7、余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们 的位置无关(2)一般地，锐角 的余角可以表示为(90-)，一个角 的补角可以表示为(180- ) 显然一个锐角的补角比它的余角大 90。 要点四、方位角要点四、方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线 OA 的方向是北 偏东60；射线 OB 的方向是南偏西 30这里的“北偏东 60”和“南偏西 30”表 示方向的角，就叫做方位角要点诠释：要点诠释： （1）正东，正西，正南，正北 4 个方向不需要用角度来表示； （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准” ， “北偏东 60”一般不说成“东偏北 30” ； （3）在同一问题中

8、观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线” ， 确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点 O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以 O 为端点 要点五、钟表上有关夹角问题要点五、钟表上有关夹角问题 钟表中共有 12 个大格，把周角 12 等分、每个大格对应 30的角，分针 1 分钟转 6， 时针每小时转 30，时针 1 分钟转 0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的 计算问题 【典型例题典型例题】类型一、类型一、角的概念及表示角的概念及表示1.下列语句正确的是 ( )A两条直线相交，组成的图形叫做角B两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角C两条

9、具有公共端点的射线组成的图形叫做角D过同一点的两条射线组成的图形叫做角 【答案】C 【解析】根据角的定义判断 【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角 的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的 重要区别举一反三：举一反三：【变式】判断下列说法是否正确(1)两条射线组成的图形叫做角 ( )(2)平角是一条直线 ( )(3)周角是一条射线 ( ) 【答案】(1) (2) (3)2. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以 B 为顶点的角； (3)图中共有几个角 (小于 180). 【答案与解析】解：(1)能用一个字母

10、表示的角A、C(2)以 B 为顶点的角ABE、ABC、CBE(3)图中共有 7 个角 【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； (2)一般数角时不包括平 角和大于平角的角类型二、角度制的换算类型二、角度制的换算3. (1)把 25.72分别用度、分、秒表示 (2)把 451230化成度 【思路点拨】第(1)题中 25.72中含有两部分 25和 0.72，只要把 0.72化成分、秒 即可第(2)题中，451230含有三部分 45，12和 30，其中 45已经是度，只 要把 12和 30化成度即可 【答案与解析】 解：(1)0.720.726043.2，0.20.26012，

11、所以 25.72254312(2)130300.560，112.512.50.2160 所以 45123045.21 【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行， “越级” 化单位容易出错 举一反三：举一反三： 【变式】 (1)把 26.29转化为度、分、秒表示的形式；(2)把 332436转化成度表示的形式 【答案】 (1)26.2926+0.2926+0.296026+17.4 26+17+0.4602617+24261724(2)33243633+24+361 6033+24+0.633+24.633+24.61 6033.41【总结升华】在角度的和、差运算

12、中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行 计算。类型四、角的比较与运算类型四、角的比较与运算4.不用量角器，比较图 1 和图 2 中角的大小(用“”连接)【思路点拨】图 1 中两角、 均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将 图中的 向 平移，让 与 始边重合，观察终边的位置来比较角的大小图 2 中的三个角按角的分类，1 为锐角，2 为直角，3 为钝角，因此按照各自的范围就 可以将它们的大小比较出来 【答案与解析】 解：(1)如图所示，将 平移使 的始边与 的始边重合，发现 落在 内 部，因此(2)由图可知1 是锐角，190，2 是直角，即290，3 是钝角，即 90 3180，

13、因此321 【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是 叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐 角直角钝角平角周角来比较大小举一反三：举一反三：【变式】已知AOB(如图所示)，画一个角等于这个角【答案】 作法：(1)以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 C、D；(2)画一条射线 OA，以点 O为圆心，OC 长为半径画弧 l，交 OA于点 C；(3)以点 C为圆心，CD 长为半径画弧，交弧 l 于点 D；(4)过点 D画射线 OB，则AOBAOB5. 如图所示，已知 OC 平分BOD，且BOC20

14、，OB 是AOD 的平分线，求AOD 的度数【答案与解析】 解：因为 OC 平分BOD，且BOC20，所以BOD2BOC=22040又 OB 是AOD 的平分线，所以AOD2BOD24080 【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若 OB 是AOC 的平分线，则AOBBOC1 2AOC；AOC2AOB2BOC，在解题时要学会灵活应用【高清课堂：角高清课堂：角 397364 角的有关计算例角的有关计算例 3】举一反三：举一反三：【变式】已知：如图，OM 是AOB 的平分线，ON 是BOC 的平分线，AOC=80，求：MON. 【答案】OM 平分AOB，ON 平分COB，MOB=1 2AOB，BON=1 2BOC.(角平分线的定义)MON=MOB+BON=1 2AOB+1 2BOC=1 2(AOB+BOC)=1 2AOC=1 280=40 .即MON=40. 类型五、余角和补角类型五、余角和补角【高清课堂：角高清课堂：角 397364 角的有关计算例角的有关计算例 1】1】6. 已知角 的余角比角 的补角的1 3还少 20，求角 的余角。【答案与解析】 解:由题意可得：角 的余角为(90-),补角为(180-)，于是得：90-=1 3（180-）-20，解得：=7590-=90-75=15 答：角 的余角为 15 . 【总结升华】此题的关键