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1、,为何要引入信号与系统的频域分析?,有人说，信号与系统的频域分析，可以将卷积运算转化为乘积运算，简化系统响应的求解。 ？,为何要引入信号与系统的频域分析?,信号频域分析的理论基础是将信号表示为正弦类（虚指数）信号，其提供了一种全新的信号分析与处理的视角，具有诸多的优越性。,为何要引入信号与系统的频域分析?,为何要引入信号与系统的频域分析?,为何要引入信号与系统的频域分析?,为何要引入信号与系统的频域分析?,原信号的时域波形,原信号的频谱,为何要引入信号与系统的频域分析?,含噪信号的时域波形,含噪信号的频谱,为何要引入信号与系统的频域分析?,滤波器的幅度响应,滤波后信号的频谱,滤波后信号的波形,
2、时间/秒,男生信号时域波形,时间/秒,女生信号时域波形,为何要引入信号与系统的频域分析?,频率/Hz,男生信号幅度频谱,频率/Hz,女生信号幅度频谱,为何要引入信号与系统的频域分析?,标准图像Lena,为何要引入信号与系统的频域分析?,幅度不变相位置零所恢复的图象,幅度为常数相位不变所恢复的图象,为何要引入信号与系统的频域分析?,电话拨号中的双音多频信号(DTMF),为何要引入信号与系统的频域分析?,键 1 的波形,键 1 的频谱,键 2 的波形,键 2 的频谱,DTMF 信号的时域波形和频谱,为何要引入信号与系统的频域分析?,1. 连续时间信号(周期为T0),2. 连续时间非周期信号,3.
3、离散非周期信号,4. 离散周期信号(周期为N),两门课共整体介绍四种信号的频谱,优点：从信号表示的角度引入四种信号的Fourier变换，建立信号Fourier分析的整体概念，有利于比较相互之间的异同点。,缺点：难以同时接受四种信号频谱？容易造成混淆？,连续周期信号,连续非周期信号,离散非周期信号,离散周期信号,离散非周期频谱,连续非周期频谱,连续周期频谱,离散周期频谱,两门课共整体介绍四种信号的频谱,第四章 连续系统的频域分析,4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI系统的频域分析 4
4、.8 取样定理,点击目录 ，进入相关章节,法国数学家、物理学家。1768年生于欧塞尔， 1830年5卒于巴黎。1798年随拿破仑远征埃及，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822 年在代表作热的分析理论中解决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题，对19世纪数学和理论物理学
5、的发展产生深远影响 。傅立叶级数、傅立叶分析等理论均由此创始。,傅立叶（Fourier, 1768-1830）,第四章 连续系统的频域分析,时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,一、傅里叶级数的三角形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t
6、)的傅里叶级数,系数an , bn称为傅里叶系数,可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。,4.2 傅里叶级数,式中，A0 = a0,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中， A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。,可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为,4.2 傅里叶级数,二、波形的对称性与谐波特性,1 .f(t)为偶函数对称
7、纵坐标,bn =0，展开为余弦级数。,2 .f(t)为奇函数对称于原点,an =0，展开为正弦级数。,实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以,4.2 傅里叶级数,3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利
8、用 cosx=(ejx + ejx)/2,4.2 傅里叶级数,上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n， 则上式写为,令A0=A0ej0ej0t ，0=0,所以,4.2 傅里叶级数,令复数,称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。,4.2 傅里叶级数,四、周期信号的功率Parseval等式,直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。n0时， |Fn| = An/2。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,4.3 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱及特点,一
9、、信号频谱的概念,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|和n的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。,4.3 周期信号的频谱,例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单、双边频谱图，并求f(t) 的平均功率。,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即,显然1是该信号的直流分量。,的周期T1
10、 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角频率=2/T = /12 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=,4.3 周期信号的频谱,是f(t)的/4/12 =3次谐波分量；,是f(t)的/3/12 =4次谐波分量；,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图,4.3 周期信号的频谱,二、周期信号频谱的特点,举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）,4.3 周期信号的频谱, n = 0 ,1，2，,Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。,零点为,特点： (1)周期信号的频谱具有谐
11、波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,4.3 周期信号的频谱,谱线的结构与波形参数的关系：,(a) T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 (b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,4.4 傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔
12、趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令,(单位频率上的频谱）,称F(j)为频谱密度函数。,4.4 傅里叶变换,考虑到：T，无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而,同时， ,于是，,傅里叶变换式“-”,傅里叶反变换式,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,根据傅里叶级数,4.4 傅里叶变换,也可简记为,F(j) = F f(t)f(t) = F 1F(j) 或 f(t) F(j),F(j)一般是复函数
13、，写为F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,(2)用下列关系还可方便计算一些积分,二、频谱函数与频谱密度函数的区别（1）周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。 （2）周期信号的频谱为Fn的分布，表示每个谐波分量的复振幅； 非周期信号的频谱为T Fn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：,4.4 傅里叶变换,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数f(t) = et(t)， 0实数,2. 双边指数函数f(t) = et
14、, 0,4.4 傅里叶变换,3. 门函数(矩形脉冲),4. 冲激函数(t)、(t),4.4 傅里叶变换,5. 常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F (j)为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。,4.4 傅里叶变换,构造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),另一种求法： (t)1代入反变换定义式，有,将t，t-,再根据傅里叶变换定义式
15、，得,6. 符号函数,4.4 傅里叶变换,7. 阶跃函数(t),4.4 傅里叶变换,归纳记忆：,1. F 变换对,2. 常用函数 F 变换对：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t|,1,1,2(),4.5 傅里叶变换的性质,Fourier变换的性质不是用来简化信号频谱的计算，而是建立了信号时域与频域之间的内在联系，反映了信号Fourier变换的物理概念和工程概念。,1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性,7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理,4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,一、线性(Linear Property),If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) then,Proof: F a f1(t) + b f2(t),= a F1(j) + b F2(j) ,a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) ,
