相关与回归分

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1、数据分析 (方法与案例),作者 贾俊平,统计学基础,Fundamental Statistics,2010年,第 6 章 相关与回归分析,6.1 变量间关系的度量 6.2 一元线性回归,regression analysis,2010年,学习目标,相关关系的分析 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 回归方程的显著性检验 利用回归方程进行预测 用 Excel 进行回归,2010年,6.1 变量间关系的度量6.1.1 变量间的关系6.1.2 相关关系的描述与测度6.1.3 相关系数的显著性检验,第 6 章 相关与回与归分析,2010年,6.1.1 变量间的关系,6.1 变量间关系的度量,201

2、0年,函数关系,是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,2010年,2010年,2010年,散点图 (scatter diagram),2010年,用散点图描述变量间的关系 (例题分析),【例6.6】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提

3、高，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据,绘制散点图,2010年,散点图 (例题分析),2010年,相关系数 (correlation coefficient),度量变量之间线性关系强度的一个统计量 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为 r 也称为Pearson相关系数 (Pearsons correlation coefficient) 样本相关系数的计算公式,计

4、算相关系数,Excel,2010年,相关系数 (例题分析),2010年,相关系数的性质,性质1：r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关 r = 0，不存在线性相关关系 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱,2010年,相关系数的性质,性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy= ryx 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小 性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述

5、非线性关系。这意为着， r=0只表示两个 变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之 间没有任何关系 性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与y一定有因果关系,2010年,相关系数的经验解释,|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|0.8时，可视为中度相关 0.3|r|0.5时，视为低度相关 |r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关 上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上,2010年,6.1.3 相关系数的显著性检验,6.1 变量间关系的度量,2010年,相关系数的显著性检验 (检验的步骤),1. 检验两个变量之间

6、是否存在线性相关关系 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量用Excel中的【TDIST】函数得双尾计算P值，并于显著性水平比较，并作出决策若Pt(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系,2010年,相关系数的显著性检验 (例题分析),各相关系数检验的统计量,2010年,6.2 一元线性回归6.2.1 一元线性回归模型6.2.2 参数的最小二乘估计6.2.3 回归直线的拟合优度6.2.4 显著性检验6.2.5 利用回归方程进行估计和预测,第 6 章 相关与回与归分析,2010年,6.2

7、.1 一元线性回归模型,6.2 一元线性回归,2010年,什么是回归分析？ (regression analysis),重点考察一个特定的变量(因变量)，而把其他变量(自变量)看作是影响这一变量的因素，并通过适当的数学模型将变量间的关系表达出来 利用样本数据建立模型的估计方程 对模型进行显著性检验 进而通过一个或几个自变量的取值来估计或预测因变量的取值,2010年,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量

8、 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,2010年,一元线性回归,涉及一个自变量的回归 因变量y与自变量x之间为线性关系 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示,2010年,一元线性回归模型 (linear regression mode

9、l),描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 一元线性回归模型可表示为y = b0 + b1 x + e y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,2010年,一元线性回归模型 (基本假定),因变量x与自变量y之间具有线性关系 在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的 误差项 满足 正态性。 是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，

10、即 N(0 , 2 ) 。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E(y)=0+ 1x 方差齐性。对于所有的 x 值， 的方差一个特定的值，的方差也都等于 2 都相同。同样，一个特定的x 值， y 的方差也都等于2 独立性。独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关；对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,2010年,回归方程 (regression equation),描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 一元线性回归方程的形式如下E( y ) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，也称为直线回归

11、方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,2010年,估计的回归方程 (estimated regression equation),总体回归参数 和 是未知的，必须利用样本数据去估计 用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程 一元线性回归中估计的回归方程为,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， 是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,2010年,6.2.2 参数的最小二乘估

12、计,6.2 一元线性回归,2010年,参数的最小二乘估计 (method of least squares ),德国科学家Karl Gauss(17771855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数 使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,2010年,最小二乘估计的图示,x,y,(xn , yn),(x1 , y1),(x2 , y2),(xi , yi),2010年,参数的最小二乘估计 ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下,2010年,估计方程的求法 (例题分析),【例6.9】求不良贷款对贷款余额的回归方程,回归方程为：y

13、 = -0.8295 + 0.037895 x 回归系数 =0.037895 表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元,2010年,估计方程的求法 (例题分析),不良贷款对贷款余额回归方程的图示,2010年,参数的最小二乘估计 (例题分析),【例6.6】估计的回归方程,第1步：选择【工具】下拉菜单，并选择【数据分析】选项 第2步：在分析工具中选择【回归】 ，选择【确定】 第2步：当对话框出现时 在【Y值输入区域】设置框内键入Y的数据区域在【X值输入区域】设置框内键入X的数据区域在【置信度】选项中给出所需的数值在【输出选项】中选择输出区域在【残差】分析选项中选择所需的选项

14、,回归分析,Excel,2010年,6.2.3 回归直线的拟合优度,6.2 一元线性回归,2010年,变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,2010年,误差分解图,x,y,2010年,误差平方和的分解 (误差平方和的关系),SST = SSR + SSE,总平方和 (SST),回归平方和 (SSR),残差平方和 (SSE),2010年,误差平方和的分解 (三个平方和的意义),总

15、平方和(SSTtotal sum of squares) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差 回归平方和(SSRsum of squares of regression) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSEsum of squares of error) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,2010年,判定系数R2 (coefficient of determination),回归平方和占总误差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差 决定系数平方根等于相关系数,输出结果,Excel,2010年,6.2.4 显著性检验（自学）,