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1、第一讲：数列极限、函数的极限,1 数列极限 2 函数极限的概念与性质 3函数极限的计算方法 4无穷小量阶的比较,1、数列的定义,例如,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,2、数列极限的性质,1.有界性,例如,有界,无界,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,2.唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,二、自变量趋向有限值时函数的极限,2.几何解释:,注意：,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,3.单侧极限:,例如
2、,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,三、函数极限的性质,1.有界性,2.唯一性,推论,3.不等式性质,定理(保序性),定理(保号性),推论,例,证,二者不相等,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,2函数极限运算方法 极限运算法则,定理,证,由无穷小运算法则,得,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,二、求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分
3、母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先变形再求极限.,例6,解,例7,解,左右极限存在且相等,两边夹定理，重要极限,1.夹逼准则,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则 和准则 称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼定理得,二、两个重要极限,(1),例3,解,(2),定义,例4,解,例5,解,三、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则; 单调有界准则 .,思考题,求极限,思考题解答,三、小结,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e
4、.利用左右极限求分段函数极限.,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,4、无穷小,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,3.无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的
5、乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,2、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,四、小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是
6、唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3） 无界变量未必是无穷大.,一、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,例1,解,例2,解,常用等价无穷小:,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,例如,二、等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,例3,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,例4,解,解,错,例5,解,三、小结,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,思考题,思考题解答,不能保证.,例,有,
