恒成立问题的一般解法

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1、,恒成立问题的一般解法,恒成立问题的一般解法,（一）分离参数法,（二）构造函数法,（三）更换主元法,（四）数形结合法,典例分析,例1、已知不等式 ax2 -2x + 2a x2对任意的a(0，+)都成立，求实数x的取值范围.,一、利用分离参数法解决恒成立问题,随堂练习1,已知函数f(x)=ax -lnx . 若f(x)1在 (1，+)上恒成立，求a的取值范围.,解题依据：,（1）af(x)恒成立,（2）af(x)恒成立,解题回顾1,对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，则可将恒成立问题转化成函数

2、的最值问题求解。,注意：对这类题要注意看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数的取值.,例2、设函数f(x)=tx2+2t2x+t -1(xR，t0) （1）求f(x)的最小值h(t)； （2）若h(t) -2t+m对于任意的t(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.,二、利用构造函数法解决恒成立问题,典例分析,随堂练习2,若不等式x2 -2mx+2m+10 对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.,解题回顾2,求解恒成立问题时，可依据不等式的特征先构造出某个区间上的函数，再利用函数的性质解题。,（2）若构造二次函数，可利用二次函数的图象特征、判别式等求解。,（1）形如f(x)g

3、(x)(xI)的恒成立问题，可构造函数h(x)=f(x)-g(x)，则原不等式等价于h(x)0(xI)恒成立，继而可利用导数研究函数h(x)的单调性、极值，便可求解；,典例分析,例3、已知不等式 ax2 -2x + 2a x2对任意的a(0，+)都成立，求实数x的取值范围.,三、利用更换主元法解决恒成立问题,随堂练习3,对于0p4的一切实数，不等式x2+px4x+p -3 恒成立，求x的取值范围.,对于一次函数f(x)=kx+b，xm，n有：,解题回顾3,当不等式中出现参数时，我们往往以自变量为主元，有时易致使解题思路受阻，解题过程不畅。若将题中已知范围的参数与自变量“主、客转化”，问题就会变

4、得简单。,四、利用数形结合法解决恒成立问题,典例分析,例4、若不等式3x2 -logax 0在x(0， ) 内恒成立，求实数a的取值范围.,随堂练习4,已知对任意实数x，不等式x+1kx 恒成立，求k的取值范围.,解题回顾4,若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地作出不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。,注意：利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。,解题依据：f(x)g(x)对一切xI恒成立等价于f(x)的图象在g(x)的图象上方.,一般地，解决不等式恒成立问题的思想方法是：分类讨论、数形结合、参数分离、变换主元等。,回顾与小结,这节课我们学习了解决恒成立问题的一般法。,分离参数法,构造函数法,更换主元法,数形结合法,这些方法是 、 、 、 。,