《2019版高考数学文科一轮复习（北京卷b版）课件：10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学文科一轮复习（北京卷b版）课件：10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 （69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、10.4 直线与圆锥曲线的位置关系,高考文数 (北京市专用),考点 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2018北京,20,14分)已知椭圆M: + =1(ab0)的离心率为 ,焦距为2 .斜率为k的直线 l与椭圆M有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和 点Q 共线,求k.,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,解析 (1)由题意得 解得a= ,b=1. 所以椭圆M的方程为 +y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,
2、y2). 由 得4x2+6mx+3m2-3=0. 所以x1+x2=- ,x1x2= . |AB|= = = = . 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为 . (3)设A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得 +3 =3, +3 =3.,2.(2011北京,19,14分)已知椭圆G: + =1(ab0)的离心率为 ,右焦点为(2 ,0).斜率为1 的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2). (1)求椭圆G的方程; (2)求PAB的面积.,解析 (1)由已知得c=2 , = . 解得a=2 . 又b2=a2-c2=4, 所以椭圆G的方程为
3、+ =1.,3.(2012北京,19,14分)已知椭圆C: + =1(ab0)的一个顶点为A(2,0),离心率为 .直线y=k (x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程; (2)当AMN的面积为 时,求k的值.,解析 (1)由题意得 解得b= . 所以椭圆C的方程为 + =1. (2)由 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= ,x1x2= . 所以|MN|= = = . 又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d= ,所以AMN的面积S=
4、|MN|d= . 由 = ,解得k=1.,评析 解析几何问题的难度在于计算,本题总体看难度不大,从形式到条件的设计都是非常熟 悉的问题,学生易于解答.,4.(2013北京,19,14分)直线y=kx+m(m0)与椭圆W: +y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点. (1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长; (2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.,解析 (1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A ,代入椭圆方程得 + =1,即t= . 所以|AC|=2 . (2)证法一:假设四边形OABC为菱形. 因为点
5、B不是W的顶点,且ACOB,所以k0. 由 消y并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设A(x1,y1),C(x2,y2),则=- , =k +m= . 所以AC的中点为M . 因为M为AC和OB的交点,且m0,k0,所以直线OB的斜率为- . 因为k -1,所以AC与OB不垂直.,所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 证法二(反证法):假设四边形OABC为菱形,则有OA=OC. 设OA=OC=r,则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆W: +y2=1的交点. 故 =r2-1,即x2= (r2-1). 则A、C两点的横
6、坐标相等或互为相反数,从而得到点B是椭圆W的顶点,与题设矛盾,故得证. 评析 本题考查了直线与椭圆相交问题、反证法.问题(1)的解决体现了“重在解析,巧在几 何”的方法,问题(2)的解决体现了“正难则反”的原则,同时考查了运算能力,具有一定的难度.,考点 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2017课标全国,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴的 上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为 ( ) A. B.2 C.2 D.3,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 C 本题考查直线与抛物线的位置关系,点到直线的距离. 解法一:由
7、题知MF:y= (x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10x+3=0,解得x1= ,x2=3,所以M(3,2 ), 因为MNl,所以N(-1,2 ),又因为F(1,0),所以NF:y=- (x-1).所以M到直线NF的距离为=2 . 解法二:直线FM的倾斜角为60,又|FM|=|MN|,所以MNF为正三角形,于是直线NF与准线l成30 角,从而|NF|= =2p=4,则M到直线NF的距离为MNF的边NF上的高,d= |NF|=2 .,方法总结 涉及抛物线的焦点和准线时,应充分利用抛物线的定义.,2.(2016课标,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(ab0)的左焦点,A
8、,B分别为C的 左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线 BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k= ,从而直线AM的方程为 y= (x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE= . 同理,OE的中点N的纵坐标yN= . 因为2yN=yE,所以 = ,即2a-2c=a+c,所以e= = .故选A.,评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线方程和中点坐标公式.,解法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|
9、OF|=c,|OA|=|OB|=a, PFy轴, = = ,= = , 又 = ,即 = ,a=3c,故e= = .,3.(2018课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点. (1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程; (2)证明:ABM=ABN.,解析 (1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM的方程为y= x+1或y=- x-1. (2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN. 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1
10、,y1),N(x2,y2),则x10,x20. 由 得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2= ,y1y2=-4. 直线BM,BN的斜率之和为 kBM+kBN= + = . 将x1= +2,x2= +2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)= = =0. 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN. 综上,ABM=ABN.,方法总结 直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略: (1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于 该量的方程,解方程即可. (2)求线段长度或线段之积(
11、和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或 弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线 的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离. (3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等, 有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥 曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.,失分警示方法总结 (1)由于忽略点M,N位置的转换性,使直线BM方程缺失,从而导致失分; (2)由于不能将“ABM=ABN”正确转化为“kBM+kBN=0
12、”进行证明,从而思路受阻,无法完 成后续内容.,4.(2018课标全国,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C: + =1交于A,B两点,线段AB的中 点为M(1,m)(m0). (1)证明:k- ; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且 + + =0.证明:2| |=| |+| |.,解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系. (1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =1, + =1. 两式相减,并由 =k得+ k=0. 由题设知 =1, =m,于是k=- . 由题设得0m ,故kb0). 又点 在椭圆C上,所以 解得 因此,椭圆C的方程为 +y2=1. 因为
13、圆O的直径为F1F2, 所以其方程为x2+y2=3. (2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则 + =3. 所以直线l的方程为y=- (x-x0)+y0,即y=- x+ . 由 消去y,得 (4 + )x2-24x0x+36-4 =0.(*) 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4 + )(36-4 )=48 ( -2)=0. 因为x0,y00,所以x0= ,y0=1. 因此,点P的坐标为( ,1).,因为三角形OAB的面积为 ,所以 ABOP= ,从而AB= . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由(*)得x1,2= , 所以AB2
14、=(x1-x2)2+(y1-y2)2 = . 因为 + =3, 所以AB2= = ,即2 -45 +100=0. 解得 = ( =20舍去),则 = ,因此P的坐标为 . 则直线l的方程为y=- x+3 . 解法二:(1)由题意知c= ,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点 在椭圆上, 所以2a= + =4,所以a=2.,因为a2=b2+c2,所以b=1, 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k0), 将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3, 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0, 因为直线l与圆O相切,所以=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3, 将直线l的方程代入椭圆C的方程,得 +(kx+m)2=1, 整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 因为直线l与椭圆C相切, 所以=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0, 整理得m2=4k2+1, 所以3k2+3=4k2+1,因为k0,所以k=- ,则m=3, 将k=- ,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,
