数域的判定

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1、题目：数域的判定 研究问题：数域 方法：定义法 例题： 例 1.证明两个数域之交是一个数域 设 A 和 B 是两个数域，若存在两个数 x,yAB,且 y0, 则由于 x,yA,x/yA;x,yB,x/yB,所以 x/yAB.即 AB 是一个数域.例 2.证明两个数域“之并”未必是数域. 如：A=x|x=a+b2,a,bQ B=x|x=a+b3,a,bQ 看它们的并集中分别取 A、B 中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以 两个数域“之并”未必是数域例 3.判断下列说法是否正确。 （1）自然数集 N 及整数集 Z 都不是数域。解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，

2、因为自然数和整数不一定存在 逆元 a*a（-1）=1 不满足这一条。（2）奇数集不是数域。解：对的例 4.证明多项式 f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-n)在有理数域上不可约。 方便起见,不妨改为证明 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3).(x-n)-1 不可约. 用反证法,假设 f(x) = g(x)h(x),其中 g(x),h(x)都是次数不小于 1 的有理系数多项式. 由 Gauss 引理,不妨设 g(x)与 h(x)都是首 1 的整系数多项式. 依次带入 x = 1,2,.,n,可知 g(k)h(k) = f(k) = -1,对 k = 1,2,.,n. 而 g

3、(k)与 h(k)都是整数,可知 g(k)和 h(k)只能是1. 且 g(k) = 1 时 h(k) = -1,而 g(k) = -1 时 h(k) = 1. 因此总有 g(k)+h(k) = 0,对 k = 1,2,.,n. 多项式 g(x)+h(x)有 n 个不同的根,但其次数 n (g(x)与 h(x)的次数都小于 n), 于是 g(x)+h(x)恒等于 0,但这与 g(x),h(x)的最高次项系数为 1 矛盾. 所以 f(x)不可约.例 5.设 A 为数域 P 上的 n 阶矩阵,数 a 为 A 的 n 重特征值,证明 A=aE 为数量矩阵 由已知,存在可逆矩阵 Q 满足 Q-1AQ =

4、 diag(a,a,.,a) = aE 所以 A = Q(aE)Q-1 = aQQ-1 = aE例 6.设 A 是数域 P 上的 n 阶矩阵,数 a 为 A 的 n 重特征值,如果 A 在 P 上相似于对角矩阵, 证明 A=aE 为数量矩阵 由于 A 可对角化,故 A 的最小多项式无重根（这是个定理） 又由于 a 为 A 的 n 重特征根,故 A 有 n 个初等因子,都为 -a 故 A 的若当标准型为 diag(a,a,.,a) 故存在可逆矩阵 P 使得 P(-1)AP=diag(a,a,.,a)=aE（此也为定理） 故 A=PaEP(-1)=aE例 7.设 A 是数域 P 上一个 N*N 阶

5、矩阵,证明 A 与 AT 相似 设 x1 x2 .xn 为 A 的特征值 a1,a2,.,an 对应的特征向量,记 X=x1,x2,.,xn 其是可 逆的 则有 X(-1)AX=diag(a1,a2,.,an) 又有 XAX(-1)=diag(a1,a2,.,an) 故有 XAX(-1)=X(-1)AX 进而有 (XX)A(XX)(-1)=A 故有 A 和 A 相似例 8.设 A 是数域 F 上的 n 阶方阵,并且有 n 个特征值.证明,存在数域 F 上的可逆矩阵 T 使 得 T-1AT 为上三角矩阵. 证明： 设 1,.,s 为 A 的所有不同的实特征根,且可知 A 与某一 Jordan 标

6、准型矩阵 J 相似, 即存在可逆实矩阵 P 使得 P(-1)AP=J,其中,J1 i 1 J2 i J= .Ji=.1 Jn 为 Jordan 标准型,而 i ,i=1,2,.,s 由于 i 都为实数,所以 J 为上三角形实矩阵. 又由 QR 分解原理,矩阵 P 可以分解为 TS,其中 T 为正交矩阵,S 为上三角形矩阵,则有 P(-1)AP=S(-1)T(-1)ATS=J,即 T(-1)AT=SJS(-1) 由于 S,J,S(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立. 证毕.例 9.设 V 是有理数域上的线性空间，V 的维数是 n，A 与 B 是 V 的线性变换，B 可对角化， AB-BA=A,证

7、：存在正整数 m，使得 A 的 m 次幂是零变换证明：对 B 的任何一个特征向量 X, 设 BX = X, 即 X 是 B 的属于特征值 的特征向量.由 AB-BA = A, 有 ABX-BAX = AX, 故 AX-BAX = AX, B(AX) = (-1)AX.若 AX 非零, 则 AX 是 B 的属于特征值 -1 的特征向量.重复上述过程, 若 AX 非零, 则 AX 是 B 的属于特征值 -2 的特征向量.依此类推, 直至第 n 次: 若(An)X 非零, 则(An)X 是 B 的属于特征值 -n 的特征向量.但 V 的维数为 n, B 不可能有 n+1 个特征值 , -1,., -

8、n.所以对某个 k n, 有(Ak)X = 0, 从而也有(An)X = 0.由 B 可对角化, 其特征向量构成 V 的一组基.An 在 V 的一组基上都取 0, 所以 An = 0.例 10.设 A 为数域 P 上的线性空间 V 的线性变换，证明：A 可逆则 A 无 0 特征值； A 可逆，则 A1 与 A 有相同的特征向量，若 0 为 A 的特征值，则 0-1 为 A-1 的特 征值证明：（1）用反证法。若 0 是特征值， 是对应的特征向量，那么：A0于是，一方面：A(-1)A=A(-1)0=0另一方面：A(-1)A=A(-1)A=0这就得出矛盾。因此，A 可逆则 A 无 0 特征值。（2）设 是 0 对应的特征向量，那么： A0两边作用 A(-1)得：A(-1)A=A(-1)00A(-1)=A(-1)=(1/0)即：0-1 为 A-1 的特征值注意事项及反思：数域是高等代数中多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、欧 式空间、双线性函数等都是在一定数域的基础上建立起来的，所以做题时一定要注意是哪 种数域。