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伯努利不等式：设 x-1,且 x0,n 是不小于 2 的整数,则(1+x)n1+nx.证明:先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：当 n=1,上个式子成立,设对 n-1,有:(1+x)n-11+(n-1)x 成立,则(1+x)n=(1+x)n-1(1+x)1+(n-1)x(1+x)=1+(n-1)x+x+(n-1)x2=1+nx+nx2-x21+nx就是对一切的自然数,当x-1,有(1+x)n1+nx下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：若 r 0 或 r 1，有(1+x)r 1 + rx若 0 r 1，有(1+x)r 1 + rx这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：如果 r=0，1，则结论是显然的如果 r0，1，作辅助函数 f(x)=(1+x)r-(1+rx), 那么 f(x)=r*(1+x)r-1-r, 则 f(x)=0 x=0;下面分情况讨论：1. 0 0，f(x) 0。严格递增，因此 f(x)在 x = 0 处取最大值 0，故得(1+x)r 1+rx。2. r 1，则对于 x 0，f(x) 0；对于 1 x 0，f(x) 0。严格递减，因此 f(x)在 x = 0 处取最小值 0，故得(1+x)r 1+rx命题得证
