7-1-3 加法原理之树形图及标数法.教师版

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1、7-1-3 加法原理之树形图及标数法 教师版 page 1 of 137-1-3.7-1-3.加法原理之树形图及标数法加法原理之树形图及标数法教学目标教学目标1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯， 锻炼思维的周全细致知识要点知识要点一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决例如

2、:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有 4 趟长途汽车从北京到天津那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有 5种走法，如果乘长途汽车，有 4 种走法上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不同的走法在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数 二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有 k 类方法

3、，第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种不同做法，1m2m，第 k 类方法中有种不同做法，则完成这件事共有种不同方法，这就是加法原km12kNmmm理加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，

4、然后再针对各类逐一计数通俗地说，就是“整体等于局部之和”7-1-3 加法原理之树形图及标数法 教师版 page 2 of 13三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分 N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事） ；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏例题精讲例题精讲模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然【例例 1】 A、B、C 三个

5、小朋友互相传球，先从三个小朋友互相传球，先从 A 开始发球开始发球(作为第一次传球作为第一次传球)，这样经过了，这样经过了 5 次传球后，球恰次传球后，球恰 巧又回到巧又回到 A 手中，那么不同的传球方式共多少种？手中，那么不同的传球方式共多少种？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2005 年，小数报【解析】如图，第一次传给，到第五次传回有 5 种不同方式ABA同理，第一次传给，也有 5 种不同方式AC所以，根据加法原理，不同的传球方式共有种5510CBCCBAABABCCBA【答案】10【巩固巩固】 一只青蛙在一只青蛙在 A，B，C 三点之间跳动，若青蛙从

6、三点之间跳动，若青蛙从 A 点跳起，跳点跳起，跳 4 次仍回到次仍回到 A 点，则这只青蛙一共有点，则这只青蛙一共有 多少种不同的跳法？多少种不同的跳法？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】6 种，如图，第 1 步跳到，4 步回到有 3 种方法；同样第 1 步到的也有 3 种方法根据加法BAC原理，共有种方法336AAABCABC BA【答案】6【例例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输 赢为止问：一共有多少种可能的情况

7、？赢为止问：一共有多少种可能的情况？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3 星 【题型】解答 7-1-3 加法原理之树形图及标数法 教师版 page 3 of 13【解析】如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打的为胜者，一共有 7 种可能的情况同理，乙胜第一局也有 7 种可能的情况一共有 77=14（种）可能的情况【答案】14【例例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不种不 同的走法。同的走法。 东 东东 东【考点】加法原理之树形图法 【难度】3 星 【题型

8、】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第 3 题【解析】给这些点依次标上字母（如左图） ，然后采用枚举法（如右图）：fdecbabdefedfdeffeccdcba共 4 种不同的走法。【答案】种4模块二、标数法 适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数标数法是加法原理与递推思想的结合 （一）简单图形的标数法【例例 4】 如图所示，沿线段从如图所示，沿线段从 A 到到 B 有多少条最短路线？有多少条最短路线？ GFEDCBA111064332111AB【考点】加法原理之标数法 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】图中在 A 的右上方，因此从 A 出

9、发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果B7-1-3 加法原理之树形图及标数法 教师版 page 4 of 13到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的那么，如果最后到达了 B，只有两种可能：或者经过 C 来到 B 点，或者经 D 来到 B 点，因此，到达 B 的走法数目就应该是到达 C 点的走法数和到达 D 点的走法数之和，而对于到达 C 的走法，又等于到达和到达的走法之和，到达的走法也等于到达和到达的走法之和，这样我们EFDFG就归纳出：到达任何一点的走法都等于到它左侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法原理，我们可以从点开始

10、，向右向上逐步求出到达各点的走法数如图所示，使用标号方法得到从到AA共有 10 种不同的走法B【答案】10【巩固巩固】 如图，从如图，从点到点到点的最近路线有多少条？点的最近路线有多少条？ ABBA10204111111B6243310A 【考点】加法原理之标数法 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】使用标号法得出到点的最近路线有 20 条B【答案】20【例例 5】 如图，某城市的街道由如图，某城市的街道由 5 条东西向马路和条东西向马路和 7 条南北向马路组成，现在要从西南角的条南北向马路组成，现在要从西南角的处沿最短的路处沿最短的路A 线走到东北角线走到东北角出，由于修路，十字路口出，由

11、于修路，十字路口不能通过，那么共有种不同走法不能通过，那么共有种不同走法 BCCBA1203920106634511111111181713553526201510654321CBA【考点】加法原理之标数法 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】本题是最短路线问题要找出共有多少种不同走法，关键是保证不重也不漏，一般采用标数法如上图所示，共有 120 种另解：本题也可采用排除法由于不能经过，可以先计算出从到的最短路线有多少条，再去CAB掉其中那些经过的路线数，即得到所求的结果C对于从到的每一条最短路线，需要向右 6 次，向上 4 次，共有 10 次向右或向上；而对于每一AB条最短路线，如果确定了

12、其中的某 6 次是向右的，那么剩下的 4 次只能是向上的，从而该路线也就确定了这就说明从到的最短路线的条数等于从 10 次向右或向上里面选择 6 次向右的种数，AB为6 10C一般地，对于的方格网，相对的两个顶点之间的最短路线有种mnm m nC 本题中，从到的最短路线共有种；从到的最短路线共有种，从到的最短路线共AB6 10CAC2 6CCB有种，根据乘法原理，从到且必须经过的最短路线有种，所以，从到且不经2 4CABC22 64CCAB过的最短路线有种C622 106421090120CCC【答案】1207-1-3 加法原理之树形图及标数法 教师版 page 5 of 13【例例 6】 如

13、图所示，从如图所示，从 A 点到点到 B 点，如果要求经过点，如果要求经过 C 点或点或 D 点的最近路线有多少条？点的最近路线有多少条？ 【考点】加法原理之标数法 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】1、方格图里两点的最短路径，从位置低的点向位置高的点出发的话，每到一点（如 C、D 点）只能向前或者向上2、题问的是经过 C 点，或者 D 点；那么 A 到 B 点就可以分成两条路径了 A-C-B；A-D-B，那么也就可以分成两类但是需要考虑一个问题A 到 B 点的最短路径会同时经过 C 和 D 点吗？最短路径只能往上往前，经过观察发现 C、D 不会同时出现在最短路径上了3、A-C-B，那么

14、C 就是必经之点了，就需要用到乘法原理了A-C，最短路径用标数法标出，同样 C-B 点用标数法标注，然后相乘A-D-B，同样道理最后结果是 735+420=1155 条【答案】1155【例例 7】 如图如图 为一幅街道图，从为一幅街道图，从出发经过十字路口出发经过十字路口，但不经过，但不经过走到走到的不同的最短路线有的不同的最短路线有 条条. 1ABCD 【考点】加法原理之标数法 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】到各点的走法数如图所示.2ACBD1118126666633211DBCA所以最短路径有条.18【答案】18【例例 8】 小王在一年中去少年宫学习小王在一年中去少年宫学习 56 次，如图所示，小王家在次，如图所示，小王家在点，他去少年宫都是走最近的路，且每点，他去少年宫都是走最近的路，且每P 次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在_点处点处 人 人 人人 人PEDCB A【考点】加法原理之标数法 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】本题属最短路线问题运用标数法分别计算出从小王家点到、点的不同路线PABCDE有多少条，其中，路线条数与小王学习次数 56 相等的点即为少年宫7-1-3 加法原理之树形