《2014届鲁闽皖高考数学（文）一轮复习精编课件：5.4《数列求和》（新人教a版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届鲁闽皖高考数学（文）一轮复习精编课件：5.4《数列求和》（新人教a版）（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 数列求和,三年24考 高考指数: 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.,1.高考考查的重点是等差、等比数列的求和公式，错位相减法求和，及裂项相消法求和. 2.数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题.,1.公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 等差数列的前n项和公式: . 等比数列的前n项和公式:,(2)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加
2、减.,【即时应用】(1) =_. (2)若数列an的通项公式为an=2n+2n-1，则数列an的前n项和Sn=_. 【解析】(1) (2) 答案：,2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.,(2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn=1002-992+982-972+22-12 =(100+99)+(98+97)+ (2+1)=5 050
3、.,【即时应用】(1)函数y=f(x)的图象关于点( 1)对称，则 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)=_. (2)若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则S17+S33+S50等于_. 【解析】(1)由题意知f(1-x)+f(x)=2, 设S=f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6), 则S=f(6)+f(5)+f(0)+f(-4)+f(-5), 2S=122, S=12.,(2)当n是奇数时,Sn=(1-2)+(3-4)+(n-2)-(n-1)+n当n是偶数时， Sn=(1-2)+(3-4)+(n-1)-nS17=9,S33=17,S50=-25, S17
4、+S33+S50=1. 答案: (1)12 (2)1,3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.,【即时应用】(1)数列 的前 n项和为_. (2)已知数列an的通项公式是 若Sn=10, 则n=_.,【解析】(1)(2) 由Sn=10，即 -1=10得n=120. 答案: (1) (2)120,4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的.,【即时应用】(1)已知数列an的前n项和为Sn，且an=n2n, 则Sn=_. (2)已知
5、则Sn=_. 【解析】(1)Sn=12+222+323+n2n, 2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1, -Sn=2+22+23+2n-n2n+1Sn=(n-1)2n+1+2.,(2) 答案: (1)(n-1)2n+1+2 (2),分组转化求和 【方法点睛】1.分组转化求和的通法 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和,2常见类型及方法 (1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)anbncn或 数列bn，cn是等比数列 或等差数
6、列，采用分组求和法求an的前n项和,【例1】(1)已知数列: 则其前n项和Sn=_. (2)已知 求数列an的前10项和S10; 求数列an的前2k项和S2k.,【解题指南】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组 求和. (2)把奇数项和偶数项分开求和. 【规范解答】(1) 答案:,(2)S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)=由题意知,数列an的前2k项中,k个奇数项组成首项为6， 公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等 比数列. S2k=6+16+(10k-4)+(2+22+2k),【互动探究】若本例(1)中数列改为:3,33,33
7、3,试求其前n项和Sn. 【解析】数列3,33,333,的通项公式,【反思感悟】解答本例(2)时应注意，其奇数项组成的等差数列和偶数项组成的等比数列的通项公式并不是题目中所给的解析式，可写出前几项寻找规律或将n=2k-1,n=2k代入求解.,【变式备选】求和: 【解析】(1)当x=1时，Sn=4n. (2)当x1时，,裂项相消法求和 【方法点睛】1.应用裂项相消法应注意的问题 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时,消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.,2.常见的拆项公式,【例2】(2012大连模拟)已知数列
8、an各项均为正数，其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2， (1)求an的通项公式; (2)设 数列bn的前n项和为Tn,求Tn的最小值. 【解题指南】(1)利用Sn+1-Sn=an+1寻找an+1与an的关系. (2)先用裂项法求Tn,再根据数列Tn的单调性求最小值.,【规范解答】(1)因为(an+1)2=4Sn, 所以 所以 即 2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an). 因为an+1+an0，所以an+1-an=2，即an为公差等于2的等差数列. 由(a1+1)2=4a1，解得a1=1,所以an=2n-1.,(2)由(1)知Tn+1Tn，数列Tn为递增数列, T
9、n的最小值为,【反思感悟】1.在对bn进行裂项时,易犯的错误,可通过通分验证. 2.在用裂项相消法求和时,消项后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能剩下前几项和后几项.,【变式训练】等差数列an的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,bn为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960. (1)求an与bn; (2)求 的值. 【解析】(1)设an的公差为d,bn的公比为q,则d为正数，an=3+(n-1)d,bn=qn-1, 依题意有 解得 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.,(2)由(1)知Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2), 所以,错位相减法求和 【方
10、法点睛】应用错位相减法应注意的问题 (1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. 【提醒】在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.,【例3】数列an的前n项和为Sn,a1=1，an+1=2Sn(nN*). (1)求数列an的通项公式an; (2)求数列nan的前n项和Tn. 【解题指南】(1)根据an与Sn的关系求an.
11、(2)用错位相减法求Tn.,【规范解答】(1)由an+1=2Sn得an=2Sn-1(n2), an+1-an=2an, 即an+1=3an(n2). 数列an从第2项起是公比为3的等比数列. 又a2=2S1=2,(2)Tn=a1+2a2+3a3+nan. 当n=1时,T1=1； 当n2时,Tn=1+430+631+2n3n-2, 3Tn=3+431+632+2n3n-1, -得:-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3n-1又T1=a1=1也满足上式,【反思感悟】解答本题(1)时，易把an错写成 解答本题(2)求Tn时，易盲目利用错位相减法直接求和，忽视了讨论n=1的情形.,【变
12、式训练】(2012烟台模拟) 已知an是公差为正数的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列bn是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20. (1)求an和bn的通项公式. (2)令cn=nbn(nN*)，求cn的前n项和Tn.,【解析】(1)设an公差为d，bn公比为q，依题意可得：解得：d=3，q=2或d= q=18(舍去)， an=3n;bn=2n-1. (2)cn=n2n-1， Tn=120+221+322+n2n-1. 又2Tn=121+222+323+n2n， 两式作差可得：-Tn=1+2+22+2n-1-n2n， Tn=(n-1)2n+1.,【变式备选】已知
13、单调递增的等比数列an满足:a2+a3+a4 =28，且a3+2是a2,a4的等差中项. (1)求数列an的通项公式; (2)若 求使Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值.,【解析】(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q, 依题意，有2(a3+2)=a2+a4, 代入a2+a3+a4=28,得a3=8， a2+a4=20.解得 或 又数列an单调递增,q=2,a1=2, an=2n.,(2) -Sn=12+222+323+n2n -2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1 -得Sn=2+22+23+2n-n2n+1又Sn+n2n+150,即2n+1-250,2n+152,
14、又当n4时，2n+125=3252, 当n5时，2n+126=6452, 故使Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值为5.,【创新探究】耳目一新的数列求和 【典例】(2011安徽高考)在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn,再令an=lgTn,n1. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=tanantanan+1，求数列bn的前n项和Sn.,【解题指南】(1)用“倒序相乘法”求Tn,再求an. (2)根据两角差的正切公式表示出tanantanan+1，然后求Sn. 【规范解答】(1)设t1,t2，tn+2构成等比数列，其中t1=1,tn+2=100,则Tn=t1t2tn+1tn+2, Tn=tn+2tn+1t2t1, 并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1in+2)，得 Tn2=(t1tn+2)(t2tn+1)(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2), an=lgTn=n+2,n1,nN*.,
