《2018-2019数学新学案同步实用课件选修2-1人教a全国通用版：第三章 空间向量与立体几何3.1.3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步实用课件选修2-1人教a全国通用版：第三章 空间向量与立体几何3.1.3 （35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第三章 3.1 空间向量及其运算,3.1.3 空间向量的数量积运算,学习目标 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律. 3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 空间向量的夹角,答案 a，b与b，a分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向量夹角的定义知a，b与b，a相等.,思考 a，b与b，a相等吗？,梳理 (1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间,(2)a，b为非零向量，a，bb，a，a与b的夹角的范围是 ， 其中当a，b0时，a与b ； 当a，b时，a与
2、b ；,0，,方向相同,互相垂直,方向相反,a，b的 ，记作 .,a，b,夹角,知识点二 数量积的概念及运算律,1.已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作 ，即 |a|b|cosa，b. 2.空间向量数量积的性质 (1)ab .,|a|b|cosa，b,ab,ab,aa,ab0,3.空间向量数量积的运算律 (1)(a)b . (2)ab (交换律). (3)a(bc) (分配律). 特别提醒：不满足结合律(ab)ca(bc).,(ab),ba,abac,思考辨析 判断正误 (1)对于非零向量b，由abbc，可得ac.( ) (2)对于向量a，b，c，有(ab)ca(bc).( )
3、 (3)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.( ) (4)对任意向量a，b，满足|ab|a|b|.( ),题型探究,例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：,类型一 数量积的计算,解答,解答,反思与感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算. (2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.,跟踪训练1 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：,解答,abbcca0
4、.,解答,类型二 利用数量积证明垂直问题,例2 (1)已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，那么AD与BC的位置关系为_.(填“平行”或“垂直”),垂直,答案,解析,AD与BC垂直.,证明,(2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.,则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.,又OGBDO，OG平面GBD，BD平面CBD， A1O平面GBD.,反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法 证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直. (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m
5、，n垂直的方法 先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.,证明,跟踪训练2 如图，在空间四边形OACB中，OBOC，ABAC，求证：OABC.,证明 因为OBOC，ABAC，OAOA， 所以OACOAB， 所以AOCAOB.,解答,类型三 利用数量积解决空间角或距离问题,命题角度1 解决角度问题 例3 在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA8，AB6，AC4，,反思与感悟 求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角,夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题.,解答,则|a|b|c|1，abbcca0，,跟
6、踪训练3 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角.,因此，异面直线A1B与AC所成的角为60.,解答,命题角度2 求空间中的两点间的距离 例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长.,由题意，知|a|b|c|2， 且a，b60，a，cb，c90.,反思与感悟 求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角,解答,跟踪训练4 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DA
7、A160，求AC1的长.,因为BAD90，BAA1DAA160，,达标检测,答案,解析,1,2,3,4,5,1.对于向量a，b，c和实数，下列说法正确的是 A.若ab0，则a0或b0 B.若a0，则0或a0 C.若a2b2，则ab或ab D.若abac，则bc,解析 结合向量的运算，只有B正确.,答案,2.已知向量a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“ca0且cb0”是“l”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,解析 若ab，则不一定得到l，反之成立.,解析,答案,解析,3.已知|a|2，|
8、b|3，a，b60，则|2a3b|等于,1,2,3,4,5,解析 |2a3b|24a212ab9b2 4221223cos 6093261，,答案,解析,1,2,3,4,5,a，b0，,a，b_.,5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,1222122(12cos 120021cos 120)2，,规律与方法,1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算. (2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用 图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入ab|a|b|cosa，b求解.,
