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1、 2.412.41 直角三角形全等判定（基础）直角三角形全等判定（基础）【学习目标学习目标】 1理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法“斜边，直角边” （即“HL” ）. 2能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 【要点梳理要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两 个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS” ， “ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法要点二、判定直角三角形全等
2、的特殊方法斜边，直角边定理斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” 或“HL” ）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：要点诠释：（1） “HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形 的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角 形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件
3、，书 写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题典型例题】类型一、直角三角形全等的判定类型一、直角三角形全等的判定“HL”“HL”1、 已知：如图，ABBD，CDBD，ADBC 求证：（1）ABCD： （2）ADBC【思路点拨思路点拨】先由“HL”证 RtABDRtCDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析答案与解析】证明：（1）ABBD，CDBD，ABDCDB90在 RtABD 和 RtCDB 中，ADBC BDDBRtABDRtCDB（HL）ABCD（全等三角形对应边相等）（2）由ADBCBDADBC .【总结升华总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考
4、虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：举一反三：【变式】已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC 求证：EDAC【答案答案】证明：AEAB，BCAB，DAECBA90在 RtDAE 与 RtCBA 中，EDAC AEAB ，RtDAERtCBA （HL）ECABCABEAF90，EEAF90，即AFE90即 EDAC2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“” ，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （3）两直角边对应相等； （ ） （4）一条直角边和斜边对应相等 （ ）【答案答案】 （1）全等，
5、“AAS” ；（2）全等， “AAS” ；（3）全等， “SAS” ；（4）全等， “HL”.【解析解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“” ；错误的画“” ，并举出反例画出图形. （1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 （ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ）【答案答案】 （1）；（2）；在ABC 和DBC 中，ABDB，AE
6、 和 DF 是其中一边上的高，AEDF（3）. 在ABC 和ABD 中，ABAB，ADAC，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，ACBD，ADAC，BCBD 求证：ADBC；【思路点拨思路点拨】如果想去证两个小的直角三角形全等的话，会发现除了直角和对顶角，就没有别的条件了，ACBD 用不上，所以另想办法，连接 DC，在 RtADC 与 RtBCD 中，问题迎刃而解.【答案与解析答案与解析】证明：连接 DCADAC，BCBDDACCBD90在 RtADC 与 RtBCD 中，DCCD ACBD RtADCRtBCD（HL）ADBC .（全等三角形对应边相等）【总结升华总结升华】证明的时候要考虑
7、所给的条件能用上，所给的线段不能割裂开.举一反三：举一反三： 【变式】已知，如图，AC、BD 相交于 O，ACBD，CD90 . 求证：OCOD.【答案答案】CD90ABD、ACB 为直角三角形在 RtABD 和 RtBAC 中ABBA BDAC RtABDRtBAC(HL)ADBC在AOD 和BOC 中DC AODBOC ADBC AODBOC(AAS)ODOC4、如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 上，且过 A，B 两点分别作直线 的垂线，垂足分ll别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析答案与解析】解：全等三角形为：ACDCBE.
8、证明：由题意知CAD+ACD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE在ACD 与CBE 中，90ADCCEB CADBCE ACBC ACDCBE（AAS）.【总结升华总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的 参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习巩固练习】一、选择题一、选择题 1下列说法正确的是 （ ） A一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B斜边相等的两个直角三角形全等 C斜边相等的两个等腰直角三角
9、形全等 D一边长相等的两等腰直角三角形全等 2如图，ABAC，AD BC 于 D，E、F 为 AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形 A3B4C5D63. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A.斜边相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等4. 在 RtABC 与 Rt中, C 90, A , AB , 那么下列结论中正确A B CCBA B 的是( )A. AC B.BC C. AC D. A A CB CB CA 5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ） A形状相同 B周长相等 C面积相等 D全等 6. 在两个直角三角形中，若有
10、一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是 二、填空题二、填空题 7如图，BE，CD 是ABC 的高，且 BDEC，判定BCDCBE 的依据是“_” 8. 已知，如图，AD90，BECF，ACDE，则ABC_.9. 如图，BADC，A90，ABCE，BCED，则 AC_.10. 如图，已知 ABBD 于 B，EDBD 于 D，ECAC，ACEC，若 DE2，AB4，则 DB_.11有两个长度相同的滑梯，即 BCEF，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯的水平方向的长度 DF 相等，则 ABCDFE_12. 如图，已知 AD 是A
11、BC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且 BFAC，FDCD.则 BAD_.三、解答题三、解答题 13. 如图，工人师傅要在墙壁的 O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的 B 点处打开，墙壁厚是 35，B 点与cm O 点的铅直距离 AB 长是 20，工人师傅在旁边墙上与 AO 水平的线上截取 OC35，画 CDOC，使cmcmCD20，连接 OD，然后沿着 DO 的方向打孔，结果钻头正好从 B 点处打出，这是什么道理呢？请你说cm 出理由14. 如图，已知 ABBC 于 B，EFAC 于 G，DFBC 于 D，BCDF. 求证：ACEF. 15. 如图，已知 ABAC，AE
12、AF，AEEC，AFBF，垂足分别是点 E、F. 求证：12.【答案与解析答案与解析】 一、选择题一、选择题 1. 【答案】C；【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是 45，可由 AAS 定理证明全等. 2. 【答案】D； 【解析】ABDACD；ABFACF；ABEACE；EBFECF； EBDECD；FBDFCD. 3. 【答案】D； 4. 【答案】C；【解析】注意看清对应顶点，A 对应，B 对应.BA 5. 【答案】C； 【解析】等底等高的两个三角形面积相等. 6. 【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等. 二、填空题二、填空题7. 【答案】HL；
13、8. 【答案】DFE 9. 【答案】CD； 【解析】通过 HL 证 RtABCRtCDE. 10.【答案】6； 【解析】DBDCCBABED426； 11.【答案】90； 【解析】通过 HL 证 RtABCRtDEF，BCADFE. 12.【答案】45；【解析】证ADC 与BDF 全等，ADBD，ABD 为等腰直角三角形. 三、解答题三、解答题 13.【解析】解：在 RtAOB 与 RtCOD 中，( 35 90AOBCOD AOCO AC 对顶角相等）RtAOBRtCOD（ASA）ABCD20.cm14.【解析】 证明：由 EFAC 于 G，DFBC 于 D，AC 和 DF 相交，可得：FFEDCFED90即 CF（同角或等角的余角相等） ，在 RtABC 与 RtEDF 中BEDF BCDF CF ABCEDF（ASA） ，ACEF（全等三角形的对应边相等）.15.【解析】证明：AEEC，AFBF，AEC、AFB 为直角三角形在 RtAEC 与 RtAFB 中ABAC AEAF RtAECRtAFB（HL）EACFABEACBACFABBAC，即12.
