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1、八数下期期末专题复习和训练三：几何计算、证明题 第 1 页（共 10 页） 第 2 页 （共 10 页）2017-2018 下学期八年级数学专题复习三： 几何计算题、证明题几何计算题、证明题编制：赵化中学 郑宗平 一.题型特点：四边形（四种常见的） 、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，勾股定理 ， 二.常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放） 、探索性（数量关系、位置关系） ， 三.图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形，下面我根据图形搭建结构特征为主进行分类，列举一部分和本期几何部分（以平行四边形 为主）的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析.一一. .以平行
2、四边形为桥梁搭建起来的图形以平行四边形为桥梁搭建起来的图形 例 1.中，的平分线交于ABCDAB4cm, AD7cmABCAD,交的延长线于,求的长？ECDFDF 分析：分析： 本题要求的长的途径有两条：其一.；其二. .DFDFCFCDDFDEADAE 采取第一途径可以少一些环节，根据平行四边形的性质和角的平分线的定义可以比较容易得出 是等腰三角形，可得；由于平行四边形的对边相等可以得出:,BCFCFCBCDAB4cm ；故CBAD7cmDF743cm例 2.和都是正三角形,.ABCADECDBF .求证：ACDCBF .当 运动至边上的何处时，四边形为平行四DBCCDEF形，且 ,并证明你
3、的结论. DEF30分析：分析： .证明.已经有了,而和都是正三角形又可以给我们ACDCBFCDBFABCADE提供条件，根据“”判定方法可以证得.,CACBACDCBF60 SASACDCBF.根据问的得出,又是正三角形,所以ACDCBFADCFADEDECF ;要使四边形为平行四边形可以证.若四边形为平行四边形，CFDECDEFCFDECDEF则；当时，就有,此时就能证得FCDDEF30 EDB30FCDEDB CFDE由正可以得出，则,;由于等腰三角形具ADEADE60ADB603090ADBC 有“三线合一”的特征，所以当 运动至边上的中点中点时，四边形为平行四边形.DBCCDEF练习
4、：练习：1.如图,在中，,则 = .ABCDAEBC,AFCD, EAF60B2.的周长为，对角线交于点,周长比的周长多，ABCD60cmACBD、OAOBBOC10cm 则 = ， = . ADDC3.中,的平分线交于点；若 , ；ABCDABCBEADEABE25CD5cm, BC7cm那么= ，= ， = .ABEBEDAE4.已知点 在同一直线上,且 ； ABEF、ABCDBEAB,BFBD求证： CDCM5.是正三角形，,.ABCAEBDDFCEEFCD 求证: AGFEAC6.以的三边在的同侧做等边、等边、等边.ABCBCEBCFBADAC .判断四边形的形状？FADE .当为多少
5、度时，四边形为矩形？BACFADE .当为多少度时，四边形不存在？BACFADE .当满足什么形状，四边形是菱形？ABCFADE7.有一块如图的玻璃,不小心把部分打碎，现在只测得,ABCDDEFAB60cm,BC80cm.A120 , B60 , C150 .根据测得的数据计算的长；AD .求四边形的面积.ABCD二二. .以矩形为桥梁搭建起来的图形以矩形为桥梁搭建起来的图形例 1. 为外一点， ;求证: 为矩形DABCDAPCBPD90 ABCD 分析：分析： 判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形是平行四边形ABCD 的情况下，要判定是矩形的途径有两条：其一.找一内角是直ABCD 角；
6、其二.找出对角线相等，即找出.ACBD 由于本题的另一主要条件是APC=BPD=90，要根据题中条件和图形 位置转换成四边形的内角为 90比较困难，所以本题我们先想办法找出 对角线相等，即找出.ACBD我们发现本题在和的两斜边的交点两斜边的交点恰好是平行四边形对角线的交点恰好是平行四边形对角线的交点，RtAPCRtBPDO 根据平行四边形对角线互相平分可知：同时是同时是的中点的中点；所以自然联想到连结这条OACBD、PO 两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在和中就有：RtAPCRtBPD AC2PO ,故,由对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形，可判定是矩形.B
7、D2POACBDABCD例 2. 如图,矩形中,对角线交于点；点为矩形的ABCD,AB5 BC12ACBD、OPABCD边上的一个固定点，过点作,垂足分别为.ADP,PEAC PFBDEF、 .求的值？PEPF .若点是上的一动点（不与重合） ，还是点作PADAD、P ，垂足分别为则的值是否,PEAC PFBDEF、PEPFMCDFBAEGFEABCDFEDBCAEFDABCFEABCDDFEBCADABCEFOPDBCAFEODABCP八数下期期末专题复习和训练三：几何计算、证明题 第 3 页（共 10 页） 第 4 页 （共 10 页）会发生变化？为什么？ 分析：分析： 求线段的和或差我们
8、会联想到证明中的“截长补短截长补短”法，但本题不具备这方面的条件.本题从面积 入手可以破题：如图连结,只要我们能求出和和的面积之和问题便可以获得解POAPODPO 决. 略解： .四边形是矩形ABCD, ABC90,11OAAC ODBD22ACBD1OAODAC2在中，；并且根据勾股定理有：，即RtABC,AB5 BC12222BDABAD，又 ，所以222AC512AC0.AC 13=1113OAODAC13222=，SAOP1OA PE2SDOP1OD PF2; 且( (过程略过程略) )SAODABCD115 121544S 、+= = SAOPSDOP11OA PEOD PF22SA
9、OD15即 .113113PEPF15222260PEPF13.不会发生变化.这是因为、的面积以及AODAOPPOD 作为底边的不会发生变化（见右图）.OAOD、练习：练习： 1.矩形中，.求证： ABCDAFDEOEOF2.矩形中，于 ，于.ABCDBEACECFBDF 求证：BECF3.矩形中，平分 ,.ABCDDFADCBDF15求与的度数？DOCCOF4.矩形中， ，则为等腰三角形吗？为什么？ABCDCEBDACE5.如图，在矩形中，点分别在上，将沿折叠，使点在上ABCDEF、BCCD、ABEAEBAC 的点处，又将沿折叠，使点落在与的交点处则的值为多BCEFEFCEBADCBC :
10、AB 少？三. .以菱形为桥梁搭建起来的图形以菱形为桥梁搭建起来的图形例 1. 中，平分，于 交于,于ABCBAC90BDABCAEBCHBDEDFBC ,求证：四边形是菱形.FAEFD 分析：分析： 判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得解决. 下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析. 可以先根据角平分线的性质得出,进而容易证明ADFD ,所以;再证明ABDAFDBABFABEAFE 可以得到（也可以利用等腰三角形的“三线合一” ） ；利用等角的余角相等可以推出EAEF ,所以,于是,故四边形是菱形.ADEAED EADAAEEFFDDAAE
11、FD例 2.（中考中考自贡自贡） 如图所示，在菱形中，为正三角ABCD,AB4BAD120AEF形，点分别在菱形的边上滑动，且不与重合EF、BCCD、EF、BCD、 .证明不论在上如何滑动，总有?EF、BCCD、BECF .当点在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出EF、BCCD、AECF 这个定值. 分析：分析：.先求证，进而求证、为等边三角形，得进ABACABCACDBAC 60ACAB、=而求证，即可求得ABEACFBECF .根据可得=;ABEACFSABESACF根据四边形=+=+= 即可解得.SAECFSABESSABCSBAESABC.证明证明：连接,如下图所示
12、.AC四边形为菱形，ABCDBAD120,1EAC602EAC60 12 BAD120ABC60和都为等边三角形ABCACD4 60ACAB、=EF ODBCAODCBAEFCBEDBCAFEODABCPFEODABCPOECADBFEFHDABC321FHDBACE八数下期期末专题复习和训练三：几何计算、证明题 第 5 页（共 10 页） 第 6 页 （共 10 页）在和中，ABEACF12 ABAC ABC3 ABEACFASABECF.解：解：四边形的面积不变.AECF 理由：由得可得=.ABEACFSABESACF故四边形=+=+= 是定值.SAECFSABESSABCSBAESABC
13、作于点，则AHBCHBH2四边形SABCDSABC2211BC AHBCABBH4 322=练习：练习：1. 已知，添加下列一个条件：.；.；.；.ABCDACBDBAD90ABBC .其中能使是菱形的为（ ） A. B. C. D. ACBDABCD2.菱形中，为上的一点，交于.ABCDEABCEBDF 求证：.；ABFCBFBECDAF 3. 菱形的对角线的比是,周长为，求菱形的面积？2:34 130 cm4.如图，的对角线的垂直平分线与ABCDACADACBC、 分别交于点；EOF、 求证：四边形是菱形. AFCE5. 如图，菱形中，,点分别是上ABCDB60 ,AB3EF、ABAD、的动点，且满足 ,接连.BEAFEFECCF、 求证：是等边三角形EFC6.中，,，垂直平分RtABCACB90BAC60DE,且 .求证：四边形为菱形.AFCEACEF四四. .以正方形为桥梁搭建起来的图形以正方形为桥梁搭建起来的图形 例 1.正方形中，是等边三角形.ABCDDCE .求的度数？AED .若,求的长？OF1AB 分析：分析：.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出,所以得,DADEADE9060150出：,所以.DAEDEA 11AEDDAE180150301522 .由正方形的性质综合可以得出,在中，ACBDRtAOF,F
