2018-2019版数学新设计同步湘教版必修三课件:第六章 立体几何初步 6-2-3-1

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1、,高中数学必修3湘教版,6.2.3 垂直关系 第1课时 直线与平面的垂直,学习目标 1了解直线与平面垂直的定义,两异面直线垂直的定义 2理解并掌握直线与平面垂直的判定定理,并会应用之判断直线与平面垂直 3掌握并会应用直线与平面垂直的性质,理解平行与垂直之间的关系,知识链接生活中处处都有直线和平面垂直的例子,如旗杆和地面、路灯与地面等等在判断线面平行时我们有判定定理,那么判断线面垂直又有什么好办法呢?,预习导引 1直线与平面垂直的概念如果直线l与平面内的 一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直,记作 .直线l叫作平面的 ;平面叫作直线l的 2异面直线垂直的定义设a,b是异面直线,过a上任意

2、一点A作cb,如果ac,就称ab.,任意,l,垂线,垂面,3直线与平面垂直的判定定理(1)定理:如果一条直线垂直于一个平面内的_,那么这条直线就与这个平面垂直(2)图形表述:如图所示(3)符号语言:la, ,a, 且abOl.,两条相交直线,lb,b,4直线与平面垂直的性质定理,平行,ab,要点一 直线和平面垂直的定义 例1 下列命题中,正确的序号是_若直线l与平面内的一条直线垂直,则l;若直线l不垂直于平面,则内没有与l垂直的直线;若直线l不垂直于平面,则内也可以有无数条直线与l垂直;若平面内有一条直线与直线l不垂直,则直线l与平面不垂直答案 ,解析 当l与内的一条直线垂直时,不能保证l与平

3、面垂直,所以不正确;当l与不垂直时,l可能与内的无数条平行直线垂直,所以不正确,正确根据线面垂直的定义,若l则l与的所有直线都垂直,所以正确,规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直 2由定义可得线面垂直线线垂直,即若a,b,则ab.,跟踪演练1 设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是 ( ) A若lm,m,则l B若l,lm,则m C若l,m,则lm D若l,m

4、,则lm 答案 B,解析 对于A,直线lm,m并不代表平面内任意一条直线,所以不能判定线面垂直;对于B,因l,则l垂直内任意一条直线,又lm,由异面直线所成角的定义知,m与平面内任意一条直线所成的角都是90,即m,故B正确;对于C,也有可能是l,m异面;对于D,l,m还可能相交或异面,要点二 线面垂直的判定 例2 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,ABAC1,AA12,B1A1C190,D为BB1的中点求证:AD平面A1DC1.,规律方法 证线面垂直的方法有三类 (1)线线垂直证明线面垂直:定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直);判定定理最常用:要着力寻找平

5、面内哪两条相交直线(有时作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直 (2)平行转化法(利用推论): ab,ab; ,aa.,跟踪演练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证:EF平面BB1O.,证明 四边形ABCD为正方形, ACBO. 又BB1平面ABCD,AC平面ABCD,ACBB1, 又BOBB1B,AC平面BB1O, 又EF是ABC的中位线,EFAC, EF平面BB1O.,要点三 直线与平面垂直的性质及应用 例3 如图,正方体A

6、1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交求证:EFBD1.,证明 如图所示, 连结AB1,B1D1,B1C,BD, DD1平面ABCD, AC平面ABCD, DD1AC. 又ACBD,DD1BDD, AC平面BDD1B1, 又BD1平面BDD1B1, ACBD1.,同理可证BD1B1C,又ACB1CC, BD1平面AB1C. EFA1D,A1DB1C, EFB1C. 又EFAC,ACB1CC, EF平面AB1C, EFBD1.,规律方法 证明线线平行常有如下方法: (1)利用线线平行定义:证共面且无公共点; (2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线; (3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行; (4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直; (5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行,跟踪演练3 如图,已知平面平面l,EA,垂足为A,EB,垂足为B,直线a,aAB.求证:al.,证明 因为EA,l, 即l,所以lEA. 同理lEB, 又EAEBE,所以l平面EAB. 因为EB,a,所以EBa, 又aAB,EBABB, 所以a平面EAB.因此,al.,再见,

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