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1、章末复习,第三章 概 率,学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率. 2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率. 3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.频率与概率 频率是概率的 ，是随机的，随着试验的不同而 ；概率是多数次的试验中 的稳定值，是一个 ，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率. 2.求较复杂概率的常用方法 (1)将所求事件转化为彼此 的事件的和； (2)先求其 事件的概率，然后再应用公式P(A)1P( )求解.,近似值,变化,频率,常数,互斥,对立
2、,3.古典概型概率的计算：关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A) 求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏. 4.几何概型事件概率的计算 关键是求得事件A所占 和 的几何测度，然后代入公式求解.,区域,整个区域,思考辨析 判断正误 1.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.( ) 2.“在适当条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型.( ) 3.几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( ),题型探究,例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表
3、：,类型一 频率与概率,(1)计算表中次品的频率；,解答,解 表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.,(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？,解答,解 当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.解 设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(10.02)2 000，因为x是正整数，所以x2 041，即至少需进货2 041个U盘.,反思与感悟 概率是个常数.但
4、除了几何概型，概率并不易知，故可用频率来估计.,跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：,(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？,解答,解 由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.解 击中靶心的次数大约为3000.9270.,(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？,解答,解 由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化
5、而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心.解 不一定.,类型二 互斥事件与对立事件,解答,例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题. (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？,解 把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，
6、(p2，x2)，(p2，x3)，共6种； “甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种. 因此基本事件的总数为666220.,故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，,解答,(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？,反思与感悟 在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解.,解答,跟踪训练2 猎人在距离100米处射击一野兔，命中的概率为 ，如果第一次没有命中，则猎人
7、进行第二次射击，但距离已是150米，如果又没有击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200米.已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比，则三次内击中野兔的概率是多少？,解 三次内击中野兔，即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔， 设第一、二、三次击中野兔分别为事件A，B，C.,所以P(ABC)P(A)P(B)P(C),类型三 古典概型与几何概型,例3 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标Sxyz评价该产品的等级.若S4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：,解答,(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；,解 计算
8、10件产品的综合指标S，如下表：,其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.,解答,(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， 用产品编号列出所有可能的结果；,解 在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共15种.,解答,设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.,解 在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产
9、品编号分别为A1，A2，A5，A7， 则事件B发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共6种.,反思与感悟 古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限.,跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为,答案,解析,解析 设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中有22(x2)2,解得x1或x5(舍去)， 阴影部分面积为1，,类型四 数形结合思想在求解概率中的应用,解答,例4 口袋里装有2个白球
10、和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回)，试求“第二个人摸到白球”的概率.,解 把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁，把2个白球编上序号1,2，把2个黑球也编上序号1,2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来，如图所示. 从右面的树形图可以看出，试验的所有可能结果为24.第二人摸到白球的结果有12种，记第二个人摸到白球为事件A，,反思与感悟 事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达.,跟踪训练4 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，O
11、B为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是,答案,解析,解析 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC. 不妨令OAOB2， 则ODDADC1.,所以整体图形中空白部分面积S22.,所以阴影部分面积为S32.,达标检测,答案,解析,1.下列事件： 任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；实数a，b都不为0，但a2b20；明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温，其中为随机事件的是 A. B. C. D.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析
12、 任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故为随机事件； 从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故为随机事件； 若实数a，b都不为0，则a2b2一定不等于0，故为不可能事件； 由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温， 也可能低于今年12月28日的最高气温， 还可能等于今年12月28日的最高气温.故为随机事件.故选B.,答案,解析,2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是 A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件
13、D.必然事件,1,2,3,4,5,解析 根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生， 故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件， 所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.,3.下列试验属于古典概型的有 从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；在公交车站候车不超过10分钟的概率；同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,
14、1,2,3,4,5,解析,答案,解析 古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性.符合两个特征； 对于和，基本事件的个数有无限多个； 对于，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.,4.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是,解析,1,2,3,4,5,答案,解析 共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”， 且各事件等可能，两人各住一个房间共有两种情况，,5.任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是,解析 三位正整数有100999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，,1
15、,2,3,4,5,解析,答案,1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.若事件A1，A2，A3，An彼此互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). 2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？ (3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.,规律与方法,3.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.,
