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1、2018/9/24,1,Computation Physics,计算物理,学习和了解物理计算的桥梁,2018/9/24,2,计算物理方法是研究并解决物理问题的数值近似解的方法,简称计算物理,也叫算法物理等。 算法:从给定的已知量出发,经过有限次四则运算及规定的运算顺序,最后求出未知量的数值解,这样构成的完整计算步骤称为算法。,第0章 绪论,0.1 计算物理方法和算法,2018/9/24,3,运算量:,一个算法所需的乘除运算总次数. 计算量是衡量一个算法好坏的重要指标。,2018/9/24,4,算法优劣的重要性,例1 已知 a0, a1, a2 , an, x, 计算多项式: 直接计算:运算量(
2、乘) 秦九韶算法(1247年): 运算量:,2018/9/24,5,例 2 解线形方程组,其中, 克兰姆(Cramer)法则: 运算量(乘除): 高斯消元法(Gauss): 运算量(乘除) Gauss: 3060次; Cramer:,2018/9/24,6,本课程的任务:, 建立各种物理问题的计算物理算法的方法和理论。 通俗地讲,就是为各种实际物理问题提供有效的数值近似解方法。 提供在计算机上实际可行的、理论可靠的、计算复杂 性好的各种常用物理算法。,2018/9/24,7,计算机解决实际物理问题的步骤 建立物理模型 选择数值方法 编写程序 上机计算,2018/9/24,8,学习方法,1. 注
3、意掌握各种方法的基本原理 2. 注意各种方法的构造手法 3. 重视各种方法的误差分析 4. 做一定量的习题和练习 5. 注意与实际问题相联系,2018/9/24,9,先修课程和后续课程: 先修课程: 基础物理,高等数学,线性代数,常微分方 程,计算机语言等。 后继课程:数值代数,数值逼近,最优化方法等。,2018/9/24,10,参考书: 1.计算物理引论 2. 数值分析, 李庆扬,王能超,易大义编。 清华大 学出版社 ,2001,2018/9/24,11,0.2 误差与有效数字,误差的来源 1、模型误差 指数学模型与实际问题之间出现的误差。 2、观测误差 由观测产生的误差。 3、截断误差 当
4、数学模型不能得到精确解时,通常要用数值方法求它的近似解,其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。如函数 f (x)用Taylor展式的有限项来近似代替。 4、舍入误差 由于受计算机字长的限制,计算时只能取有限位数进行运算,由此产生的误差称舍入误差。,2018/9/24,12,(绝对)误差 设 x* 为精确值(或准确值),x 为 x* 的近似值,称 e = x* x 为近似值x的(绝对)误差。 (绝对)误差限 ( ) 如果精确值 x* 与近似值 x 的误差的绝对值不超过某个正数 ,即 | e |= | x* x | 。 于是,精确值也可表示为 x* = x , 或,误差的概念,2018/9/24
5、,13,例如 近似值 x1= 123.456 和 x2 = 0.0123456 。它们的绝 对误差限分别为:,绝对误差限不超过该近似数末位的半个单位。,123.4559 123.4563,5个 单位,2018/9/24,14,相对误差,先看两种产品的不合格率: 8/1000=0.8% ; 12/2000=0.6% (相对误差的值) 定义:设 x* 为精确值,x 为近似值,相对误差为 当绝对误差 e 较小时,相对误差可写为,2018/9/24,15,相对误差限,相对误差限,定义 如果有正数r使得 则称r为 x* 的相对误差限。 例如 近似值 x = 123.456 ,则,2018/9/24,16
6、,有效数字: 设 x* 的近似值为,p为整数,若 x 的绝对误差限不超过末位的半个单位,即 则称用 x 近似 x*是具有“ n 位有效数字。” 例0.1 x=12.34;y=0.004067 (均为4位); 3.00(3位),3.0000(5位)。 | 3.14|10(np)/2=102 /2 ( n = 3, p = 1)。,0.314101,表示数x的末位的半个单位,2018/9/24,17,0.3 约束误差,计算物理的选择 在计算物理中,要讨论计算公式的收敛性、稳定性和截断误差。 约束误差就是要选择收敛性要求低、稳定性好的计算物理。 提高计算物理精度 数值在计算机中存放的位数称为字长。
7、有限位的字长是带来舍入误差和拟制计算物理精度的根源。因此,选用字长长的计算机和增加数的有效位数可以提高计算物理精度。,2018/9/24,18,0.4 范数,在实轴上,任意两点a,b之间的距离可以用绝对值| ab |来度量。三维空间R中向量的长度为 向量范数是用来衡量向量的大小,它是三维空间中向量长度概念的推广。 向量范数 矩阵范数,2018/9/24,19,向量范数的定义,定义 任意向量x=(x1, x2, xn)TRn,按照一定规则对应一个 非负实数,记为 x,如果满足: (1)非负性 x0,而且x=0 当且仅当x=0; (2)齐次性 xRn ,R,有 x= |a|x; (3)三角不等式
8、则称x为向量 x 的范数。,即定义的形式,2018/9/24,20,Rn中常用范数形式: 设x=(x1,x2,xn)T,,1-范数: x1=|x1|+|x2|+|xn|= 2-范数: x2= -范数:x=max|x1|,|x2|,|xn|= p-范数: xp=,2018/9/24,21,注:定义中的规则十分重要,若定义x=x1 + x2+xn,就构不成范数,因为由x=0不能推出x0。例如,x=(1,-1,0), 显然,x=0,但是,x0。 例0.2 已知 x=(1, 3,-5),求1,2,-范数。 x1=1+3+5=9; x2=(12+32+52)1/2; x =max1,3,|-5|=5.,
9、2018/9/24,22,范数的等价性和等价性定理,定义 设 和 为Rn 上定义的两种范数,若存在 非负常数C1, C2,使x Rn 成立 C1 C2, 则称 和 为Rn 上的等价范数。 定理 0.1 有限维空间Rn上的所有范数都等价。 容易验证: (1)x2x1 n1/2x2; (2)xx2 n1/2x; (3)xx1 nx。,3种范数相互等价,2018/9/24,23,证明提示:(1),由 x12+ x22+ + xn2(|x1|+ |x2|+ +| xn|) 2, 两边开方得第一式成立; 由 (|x1|+ |x2|+ +| xn|) 2 n( |x1|2+ |x2|2+ + |xn|2)
10、, 两边开方得第二式成立。,2018/9/24,24,向量范数的收敛性,定义 如果向量序列x(k) Rn和向量xRn 满足 则称x(k)(依范数)收敛于x,记为 定理0.2 Rn 中向量序列x(k)(依范数)收敛于 x 的充分 必要条件是 (见注),2018/9/24,25,例0.3 求向量序列 的极限向量。,解:,2018/9/24,26,矩阵范数,定义 设ARnn为n阶实矩阵,按照一定规则对应一个非负 实数,记为A,如果A,BRnn满足: (1) 非负性: A0,而且A=0 当且仅当 A=0; (2) 齐次性: A= |A, C; (3) 三角不等式: A+B A + B; (4) AB
11、A B; (5) 相容性: Ax Ax, x Rn; 则称A为矩阵 A 的范数。,2018/9/24,27,矩阵范数可以用向量范数定义,设ARnn为n阶实矩阵,定义矩阵范数为 3种常用矩阵范数: (1) (列向量范数中的最大者) (2) (行向量范数中的最大者) (3) (其中1为ATA的最大特征值),2018/9/24,28,欧几里得(Euclid)范数或舒尔(Schur)范数:,定义为 例0.4 求4种范数。 解: A1=max|1|+3,2+7; A=max|1|+2,3+710; ATA的特征值 1=60.19, 2=2.81 A2 = 11/2 = 60.191/2, AE= (1+
12、4+9+49)1/2=631/2。,2018/9/24,29,矩阵范数的收敛性,定义 如果n阶矩阵序列A(k) Rnn和矩阵ARnn 满足 则称A(k)(依范数)收敛于A,记为 定理0.3 Rnn 中矩阵序列A(k) 收敛于矩阵A 的充分 必要条件是( A(k)=(aij(k)nn , A=(aij)nn),2018/9/24,30,矩阵的谱半径,定义 设n阶矩阵A的n个特征值为1,2,n,矩 阵的谱半径定义为 由2-范数的定义知, 谱半径与矩阵范数的关系 定理 0.3 (A)A. 证明 设为矩阵A的任一特征值,x为对应的特征向量, 由矩阵的定义知, |x=x=AxAx. 因为x0,所以,|A
13、.由的任意性,定理 得证。,实特征值为绝对值 复特征值为模,x0,因为特征值 满足特征方程, 即 | IA|=0, 所以,Ax= x有非零解x。,2018/9/24,31,特别地,对于对称矩阵有:,定理0.4 如果ARnn 为对称矩阵,则A2=(A). 证明 因为A为对称矩阵,即AT=A,则,A2xi=A(Axi)=iAxi= i2xi,2018/9/24,32,2006年9月15日 星期五上午:8:00-11:35 (电气、材料、土木) 星期五下午:14:10-16:45 (机械、化工、工程力学、环水) 北1204教室,2018/9/24,33,2018/9/24,34,在计算机上是否根据数
14、学公式编程就能得到正确结果?,研究例子: 求解线性方程组 其准确解为 x1=x2=x3=1,如把方程组的系数 舍入成两位有效数字,它的解为x1 =-6.222. x2=38.25 x3=-33.65.,2018/9/24,35,规格化浮点数 x= 0.a1 a2.at10c ai0,1,2,9, a10,Lc U 一般情况: x= 0.a1 a2.atc ,=2,8,10,16, ai0,1,2, -1, Lc U F(,t.L,U)表示以上数集全体加数0, 它是计算机中使用有限离散集。,计算机中的数系,阶码,尾数,溢出错误,2018/9/24,36,计算机中数的计算特点: 1. 加法先对阶,
15、后运算,再舍入 2. 乘法先运算,再舍入 3. 不在计算机数系中的数做四舍五入处理,例如:在四位浮点十进制数的计算机上计算1+ 104 解: 1+ 104 =0.1000 101+ 0.1000 105 = 0.00001 105 + 0.1000 105 (对阶计算) = 0.10001 105 = 0.1000 105 = 104,2018/9/24,37,绝对误差:e = x* - x , x* 是准确数 x是近似数 绝对误差限:|e| = |x* - x| 常表示为x= x* 或x* - x x* + 相对误差:er =(x*-x)/x* , x* 是准确数, x是近似数 相对误差限r:|er/ x*|= |x* - x|/|x*| r 相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异 例:考虑 1.x* =10, x=11 e=-1 er=-0.1 2.x* =1000, x=1001 e=-1 er=-0.001,