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1、重 积 分,第九章,计算二重积分,解:,因积分区域为圆域,且关于x,y及坐标原点 均对称, 所以,由二重积分性质,又 2x, 2y 分别为 x,y 的奇函数,故,题组一：二重积分,一. 计算二重积分,1.,其中,解:,2. 求,其中,解:,3.求,其中D是由三点,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1)围成的三角形区域.,解:,积分区域如图.,作辅助线OB将积分区域分为两部分.,则,其中D是由,围成.,解:,积分区域如图.,作辅助线,积分区域,被分为两部分.,于是,4.求,5. 求,其中,解:,积分区域如图.,则均匀圆形薄片的形心为,圆的面积为,利用形心的坐标公式有:,所以,其中,解:,
2、积分区域如图.,利用对称性有,6.求,7. 求,其中D是由,围成.,解:,积分区域如图.,作辅助线,积分区域,分为两部分.,于是,8. 设,求,其中,解:,积分区域如图.,D1,D2,D3,二. 二次积分,1. 将,化为直角坐标系下的累次积分,其中,解:,积分区域如图.,所以,或,2. 将,化为极坐标系下的累次积分.,解:,积分区域如图.,作辅助线将积分区域分为两部分.,D1,D2,则,3. 交换下列二次积分的顺序,解:,积分区域如图.,所以,(2),解:,积分区域如图.,(3),解:,积分区域如图.,4. 计算,解:,积分区域如图.,交换积分顺序得:,5. 设,计算,解:,积分区域如图.,根
3、据题意知,交换积分顺序,6. 设f (x)在0,1上连续,且,求,解:,积分区域如图.,由二重积分的对称性知道,于是,所以,D1,D2,7.设 f (x)在0,a (a 0)上连续, 证明,解:,积分区域如图.,换序,x 与 y 互换,三. 二重积分的应用,1. 利用二重积分证明不等式,设 f (x)在a ,b (a 0)上连续, 且 f (x) 0, 则,解:,积分区域如图.,2. 求抛物面,与球面,所围立体的体积和表面积.,解:,积分区域如图.,3. 证明曲面,上任一点处的切平面与曲面,所围立体体积为定值.,解:,设曲面上任一点的坐标为 (x0 , y0 , z0) ,则过该点的,切平面方
4、程为,即,又知,切平面方程为,切平面和曲面所围立体如图.,消去 z,4. 已知球A的半径为a ,另求一球B,球心在球A的球面上,问球B的半径R为多少时,球B位于球A内部的表面积,为最大,并求出最大表面积.,解:,根据题意作图如右.,则,5. 求由两同心圆,所围在第一,象限内的四分之一圆环板的重心,其中面密度为常数.,解:,根据题意作图如右.,由对称性知,板面积,所以,故重心坐标为,6. 设有一由, x 轴及 x = e所围成的均匀薄片,密度=1,求此薄片绕 x = t 旋转的转动惯量 I (t),并求 t 的值使 I (t) 最小.,解:,根据题意作图如右.,令,得,故,题组二：三重积分,1.
5、 已知,其中由,围成,试将 I 分别化为三种坐标系下的,三次积分,并计算其值.,解:,积分区域如图.,直角坐标系下采用“先二后一”法.,采用柱坐标.,采用求坐标.,作辅助线后积分区域,被分为如图两部分.,于是,2. 计算,其中,解:,积分区域如图.,同理,故,3. 计算,其中由,围成.,解:,积分区域如图.,积分区域关于三坐标面对称,被积函数关于 z 是奇函数,故积分为零.,此题也可用“先一后二”法讨论.,4. 计算,其中,解:,6. 当 f (x) 连续时,证明:,证明:,7. 设 f (x)为连续函数,且,其中由,围成, 求,解:,利用球坐标有,8. 设 f (x)为连续函数,其中,解:,积分区域如图.,利用柱坐标有,9. 已知 yoz 平面内一条曲线,将其绕 z 轴旋转得,一旋转曲面,此曲面与 z = 2 所围立体在任一点的密度,为,求该立体对轴的转动惯量 .,解:,根据题意作图如右.,则,10. 在球心位于原点,半径为 a 的均匀半球体靠圆形平,面一侧接一个底半径与球半径相等且材料相同的圆柱体,并使拼接后的整个物体的重心在球心,求圆柱体的高.,解:,根据题意作图如右.,则重心在原点.,设圆柱体高为 h ,且圆柱体和球体分别为,则,所以,解得,
