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1、1,反应堆物理与工程导论,An introduction to nuclear reactor physics and engineering,课程号： 00418873,第5章(1),2,反应堆的临界理论 Theory of reactor criticality,第5章,思考题：1) 在中子慢化过程中有一个逃脱共振 吸收概率, 在中子扩散过程中相应概率是什么?2) 无源中子扩散与有裂变源的扩散有何不同?,小鸟，人，大象 的饭量,3,前言,上一章讨论了中子在介质内扩散的规律和无源中子扩散方程的解法 本章进一步讨论由核燃料和慢化剂等组成的有限、均匀、增殖介质（反应堆系统）内的中子扩散问题 中心
2、问题是讨论反应堆的临界,反应堆临界理论研究如下两个问题： (1)各种形状的反应堆达到临界状态的条件 (临界条件):例如临界体积、临界质量等 (2)临界状态下堆内中子通量密度(或功率) 的空间分布,4,首先，我们把反应堆内中子的能量分布范围分成若干个“能群”，由于已经知道了堆内中子的能谱形状，故可计算出每一能群的平均参数(扩散系数，吸收截面，裂变截面等) 其次，对于每一能群，写出一个中子扩散方程。方程中的吸收截面、扩散系数等参数取该能群的平均值 第三，解这些中子扩散方程，就得到了,相应的理论称为分群扩散理论。利用它，可以比较容易地算出堆内中子的空间能量分布,5,为简单起见，我们先研究均匀反应堆。
3、所谓均匀堆是指，堆芯的各种材料（燃料、慢化剂、结构材料等等）均匀地混合在一起。因此整个堆芯的材料特性一致，核截面等数据一样,均匀堆与非均匀堆,世界上数以千计的反应堆中，只有一个名叫“水锅炉”的实验堆是均匀堆。其堆芯是硫酸铀酰的水溶液 其他都是非均匀堆，堆芯中的燃料和慢化剂是分开的，不混在一起。Why?既然如此，为什么还要研究均匀反应堆呢？,6,从容易的着手，逐步精确,均匀堆容易描述，建立的物理数学模型比较简单。而从中引出的基本概念却有普遍应用价值 工程设计中，对实际的非均匀堆进行分析时，也要先进行 “均匀化”，化为均匀堆 因此，对均匀堆的分析并非纸上谈兵，脱离实际,7,本章主要内容,5.1 均
4、匀裸堆的单群扩散理论 5.2 有反射层反应堆的单群扩散理论 5.3 双群扩散理论 5.4 多群扩散理论 5.5 非均匀反应堆,8,5.1 均匀裸堆的单群扩散理论,第5章（1）,9,5.1 均匀裸堆的单群扩散理论,裸堆：无反射层的反应堆 单群：全部中子都在一个能群里。实际上是假设堆内里所有中子都是热中子 热中子不能再慢化了, 故方程简单: 只需考虑中子的产生、吸收和泄漏,1. 均匀裸堆的单群扩散方程,泄漏 吸收 产生,10,上式也可写成 上式各项除以D,并由扩散长度定义,得时-空分离变量法，令代入上式，有,11,上式除以 ，得 左右两边时-空已分离,恒等 必有思考:为什么此常数取负号不取正号？,
5、通量密度 随空间如何变化？随时间如何变化？,12,先解关于空间部分 的方程 如在三维曲线坐标中具体写出来, 是较复杂的 这里先以一个简单问题(一维平板裸堆)为例 如图，该堆包括外推距离的厚度为a, 此时,亥姆霍兹方程,边界条件：,什么函数?,a,x,0,13,满足方程和上述边界条件的解是,偶函数,驻波形式 思考：j 可以为负值吗?,14,再解关于时间T(t)的方程思考 为什么T 变成了Tn？ 变形,15,其中故原方程的解,1)指数增加 2)恒定不变 3)指数衰减,稍短？ 因有泄漏,空间上是 余弦函数 时间上是 e指数函数 线性叠加,平均,16,结果分析 可见：n越大，Bn越大，kn越小因此 k
6、1 k2 k3 k4 当 k11时，(x, t)至少包含一个正指数项。随着t的增大，中子通量不断上升。 当 k11时，k2、k3、k4皆小于1。经过一段时间后 (开堆过程?)，(x, t) 稳定为,17,当 k11时，k2、k3、k4皆小于1。堆内中子通量越来越小，最后将消失。由此可见，这里的k1就是我们在讲中子循环时引入的有效增殖系数 keff 以前我们只是直观、定性地利用 keff 这个量，现在用简单模型，用数学工具推导出了定量计算公式：,18,对于 平板堆， ，称为几何曲率其值由构成反应堆的材料决定；分母中的L2由堆的材料决定，而几何曲率Bg2由堆的尺寸和形状决定 因此反应堆的有效增殖系
7、数由构成堆的材料以及堆的几何形状和尺寸共同决定 在堆芯材料和几何形状确定以后，只有一个尺寸可以使反应堆处于临界状态。这个尺寸就称为临界尺寸,其分子,Buckling,无限大,19,从公式中还可看出，就是不泄漏概率 证明：,(keff 与 k无穷 的比值),相关因素: 1) 扩散长度 2) 几何曲率,20,在有限介质内,中子寿命比无限介质内要短。 单群临界公式当反应堆的材料、形状定了以后，可以从上式算出临界尺寸 当尺寸、形状定了以后，可以用上式计算出达到临界所需的材料成分(燃料/慢化剂配比),有吸收,还有泄漏!,21,材料曲率,单群临界公式可以改写为：,我们把,称为反应堆的材料曲率，记为,(材料
8、的性质),反应堆临界条件的另一种表达方式,当反应堆的几何曲率等于材料曲率时，反应堆处于临界状态,与几何无关,22,物理解释,材料曲率反映堆内中子产生率高出吸收率多少。 几何曲率的大小反映中子泄漏的多少。 材料曲率等于几何曲率说明：当多余的中子产生率正好被泄漏率抵消时，系统正好处于平衡态临界状态：,讨论题如果材料曲率几何曲率, 反应堆处于什么状态？,/,23,单群公式用于快中子系统,单群临界公式也可用于快中子系统（快堆，核弹等）的估算。Why?,例题1:金属235U球的临界质量(快中子)计算纯235U金属球的临界尺寸.已知：,无慢化,临界体积与哪几方面的因素有关？ 4因子公式是否还能应用?,24
9、,戈迪瓦快临界装置的半径为8.1cm !相应的临界质量约 42千克 加上反射层后临界质量可以减半 用钚做原子弹，加上反射层后临界质量可减少到5-6千克,解:,下面要学,快单群 4因子变成1因子,有裂变时 谢书64页(3-23)式不严格,外推,自由程 1/0.0672 = 15 cm 谢 11.8-2.2=9.6 cm,25,例题2：液体堆芯的临界铀浓度,235U-水 混合物做成裸堆堆芯，铀核的比例至少达到多少才有可能临界？ 解：用单群理论分析为了达到临界，必须,可见体积足够大时，很稀薄的铀汤就可以达到临界这与实验结果相差不远如此简单的理论能得到不坏的结果？Why? 重水0.0013b,热中子堆
10、,单群公式用于热中子系统,即,511倍, 552652:1,26,临界公式其他用途,不仅可以用于反应堆，而且可用于其他核设施的临界安全分析 同位素分离工厂，后处理厂，核废物库，核物料运输罐的设计、安全分析。,/,27,2. 对各种几何形状的裸堆 解亥姆霍兹方程 求几何曲率、通量分布,可以得到各种几何形状的裸堆内的中子通量分布的表达式。 对长方体堆，可以分解为x,y,z方向，每个方向相当于一个平板堆 对于圆柱形堆，下面给出解的过程 对于球形堆，直接给出结果,28,设圆柱形反应堆的半径为,，,度为,(均包括外推距离在内)。,高,见左图。,采用柱坐标系，,原点取在圆柱体轴线的中点上。,圆柱形裸堆内通
11、量分布的推导,相对复杂一些, 牵涉到特殊函数,中子通量密度只取决于r, z 变量,o,29,波动方程为:,边界条件:,(i) 中子通量密度在堆内各处均为有限值,(ii) 当,或,时，,用分离变量法求解，令,代入上式，并用 除式中各项得,30,得到 Z方向-Buckling,31,32,各类贝塞尔函数图像,谢书96页 零阶贝塞尔函数 哪两个是一类？,33,根据边界条件(i)（通量处处有限）,在0点发散, 所以C2=0。,故解为,为计算,利用在,处，,的边界条件，即,其中常数,不能为零，,故只能是,，,贝塞尔函数第1个零点是, 故,所以,r方向- Buckling,34,轴向z, 径向r 综合起来
12、, 有,称为径向几何曲率，,称为轴向几何曲率,注: 已经用完所有的定解条件，但在得到的解中，仍然留有一个常数C不能确定。原因是 反应堆可以在任何通量水平(即功率)下达到临界 要确定C的值，必须知道反应堆在何种功率下临界(回忆:平均通量密度与堆功率的关系谢24页式(1-70),35,长方体裸堆内的通量分布,讨论: 如果1个(或2个)方向变为无限大？,36,用同样方法可推出球形裸堆内通量分布,布的表达式，,球体裸堆内的通量分布,三种几何形状裸堆通量分布比较,单缝衍射因子,求235U金属球 临界尺寸时已用到,37,38,反应堆的最佳形状,这里所谓最佳，是指用同样材料，做成的反应堆临界体积最小。组成反
13、应堆的材料确定后，材料曲率就定了，因此堆的临界几何曲率Bg也定了。但是，对同一个几何曲率Bg值，可以有不同的形状和尺寸，对应不同的体积。,39,反应堆的最佳形状（续）,具体推导过程，是微积分中的求极值问题。请同学们自己完成。 /,40,3. 通量不均匀系数,我们已经知道了各种形状裸堆内中子通量分布情况. 不同位置处通量大小不一样通量不均匀系数的定义：,各种形状裸堆的通量不均匀系数,长方体：3.88 圆柱： 3.62 球： 3.27,越来越“圆滑”,41,通量不均匀系数越小越好,工程上希望：通量不均匀系数尽量小。如果不均匀系数等于1，那么堆内各处的通量都可以达到安全允许的最大值如果通量不均匀系数
14、很大，则在平均通量尚很低时，最大通量已经超过安全极限。整个堆的功率密度就上不去尽管球形堆不均匀系数最小，工程上却不采用为什么？,42,实际的反应堆结构比均匀裸堆复杂，其通量不均匀系数与均匀裸堆也不相同。但是在反应堆设计和运行中，必须将通量不均匀系数控制在一定的许可值之下(通量展平),分区装料 减少控制棒（用均匀分布的吸收体代替） 多用灰棒，少用黑棒 用短控制棒，展平轴向通量 加入固体可燃毒物 ,展平通量的几种方法,43,小结,均匀裸堆的单群扩散方程 分离变量 空间: 亥姆霍兹方程 时间: 指数变化 临界公式 不泄漏概率 几何曲率 材料曲率 三种几何形状的裸堆的几何曲率与通量分布 通量不均匀系数
15、,/,44,5.2 有反射层反应堆的 单群扩散理论,第5章（2）,45,反射层,实际反应堆都有反射层，用来阻挡中子逃出堆芯。设置反射层成本不高，收益可观 上面的例子: 裸235U球的临界质量要四十几千克，加上反射层后，降为二十千克左右 核弹头的威力不单取决于装铀量,46,反射层的作用,1) 减少中子泄漏，从而减小临界尺寸，节约核燃料2) 展平中子通量，降低通量不均匀系数,两图中的曲线有何问题?,47,什么形状的反应堆，堆芯中子通量密度类似余弦分布，而反射层内为指数衰减？ 答：无限大平板反应堆（仅在一维上是有限的）,48,反射层材料,要求吸收截面小, 散射截面大, 慢化能力强 适合作慢化剂的材料也适合作反射层 对热中子反应堆，宜用轻核。可供选择的有：轻水, 重水, 石墨, 铍(金属或氧化物) 对快中子反应堆，用重物质作反射层避免慢化. 但仍要求吸收截面小, 散射截面大,49,例题：两侧带反射层的无限平板堆。,堆芯厚度,，,反射层厚度为,，含外推距离。,求其临界方程。,如图确定x轴，,芯部c和反射层r的方程分别为,(1),(2),1.带反射层的一维平板堆,x,问题：两方程的差别? 加反射层后，达到临界所需的a值如何变？,外推边界ab边界,为,50,由（1）式,由对称边界条件知,由（2）式,
