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1、第九章 压杆稳定,9-1 压杆稳定的概念,9-2 两端铰支细长压杆的临界力,9-3 其他支座条件下细长压杆的临界力,9-4 欧拉公式的适用范围 中小柔度压杆的临界应力,9-5 压杆稳定计算,9-6 提高压杆稳定性的措施,第二章中，轴向拉、压杆的强度条件,例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1 mm.钢的许用应力=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为,F = A = 3.92 kN,91 压杆稳定的概念,实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力.,一、引言
2、,压杆失稳(屈曲) :细长压杆不能正常工作并非其强度不够，而是不能保持其原有的直线平衡状态.,工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全可靠地工作.,二、工程实例,案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.,三、失稳破坏案例,案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.,案例3 2000年1
3、0月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.,研究压杆稳定性问题尤为重要,1.平衡的稳定性,四、压杆稳定的基本概念,随遇平衡,2.弹性压杆的稳定性,稳定平衡状态,临界平衡状态,不稳定平衡状态,确定压杆的临界力 Fcr,五、稳定问题与强度问题的区别,压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？,该截面的弯矩,杆的挠曲线近似微分方程,压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移,（a),令,92 两端铰支细长压杆的临界力,边界条件,由公式(c),(b)式的通解为,（A、B为积分常数）,这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）,令 n
4、 = 1, 得,讨论：,若,则必须,【例1】试导出一端夹紧一端铰支压杆的欧拉公式.,（2）挠曲线和转角方程,令,（1）弯矩方程,上式变为：,3）边界条件,边界条件表示一个关于a、 b、 R/F的齐次线性方程组,其有非零解的充要条件是：,由,【例2】试导出图示压杆的欧拉公式.,（2）挠曲线和转角方程,令,（1）弯矩方程,上式变为：,边界条件表示一个关于a1、 b1、 a2 、 b2 、R /F、的齐次线性方程组，其有非零解的充要条件是：,（3）边界条件,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压,一、细长压杆的形式,两端铰支,一端自由一端固定,一端固定一端铰支,两端固定,二、其它支座条件下的欧拉公式
5、,长度因数,相当长度,两端铰支,一端固定，另一端铰支,两端固定,一端固定，另一端自由,各种支承条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式, = 1, = 0.7, = 0.5, = 2,欧拉公式 的统一形式,（ 为压杆的长度因数）,取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力.,若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.,即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然后取小的一个作为压杆的临界压力.,（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I,若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩.,三、讨论,
6、（1）相当长度 l 的物理意义,折算成两端铰支细长压杆的长度.,【例3】图示内燃机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.510 4 mm4,Iy=3.810 4 mm4，弹性模量E=2.110 5 MPa.试计算临界力Fcr.,（1）杆件在两个方向的约束情况不同,（2）计算出两个临界压力，最后取小的一个作为压杆的临界压力.,分析：,所以连杆的临界压力为134.6kN.,xOy面：约束情况为两端铰支 m=1，I=Iz，l=1m,xOz面：约束情况为两端固定 m=0.5，I=Iy，l=0.88m,压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按 =
7、F/A 计算.,9-4 欧拉公式的应用范围 经验公式,一、临界应力,欧拉公式临界应力,按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为,i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径., 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响. 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳.,令,令,则,则,若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力 cr .,二、 欧拉公式的应用范围,只有在 cr p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.,或,令,
8、即l 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围.,当 1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.,1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如， 对于Q235钢，可取 E=206GPa，p=200MPa，得,三. 常用的经验公式,式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.,2 是对应 直线经验公式的最低线.,直线公式,的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.,或,令,四、压杆的分类及临界应力总图,1.压杆的分类,（1）大柔度杆,（2）中柔度杆,（3）小柔度杆,2.临界应力总图,【例4】图示各杆均为圆形截面细长压杆. 已知各杆的材料及直径相等. 问哪个杆先失稳?,
9、A杆先失稳.,杆A,杆B,杆C,【例5】压杆截面如图示. 两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴 失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支. 已知 杆长l=1m ，E=200GPa，p=200MPa. 求压杆的临界应力.,因z y ，故压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 1，用欧拉公式计算临界力.,【例6】外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求,（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；,（2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力.,已知： E = 200 GPa， p= 200 MPa ， s =
10、 240 MPa ，用直 线性经验公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.,（1）求能用欧拉公式时压杆的最小长度,（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?,用直线经验公式计算,一、稳定性条件,9-5 压杆的稳定校核,工程实际中， nst通常要求比ns或大nb；,局部削弱的压杆，稳定性计算时横截面积A和惯性矩I仍按未削弱时的计算，但必须按“净”面积增加强度校核.,压杆稳定条件可用于校核稳定性、确定压杆工作压力、压杆截面尺寸、压杆长度、两端约束、安全系数、材料等.,即,二、解题步骤,计算压杆的最大工作柔度 max；,必要时计算材料的比例极限柔度1和由给定的经验公式计算与
11、材料极限应力s相对应的柔度2；,根据 max与1、 2之间的关系，确定计算临界应力的适宜公式，计算临界应力cr和临界压力Fcr；,根据规定的稳定安全系数计算工作压力F；,必要时如压杆存在局部削弱等应增加强度校核.,【例7】活塞杆材料 p = 280MPa，s = 350MPa ，E=210GPa. 长度 l = 703mm ，直径 d=45mm. 最大压力 Fmax = 41.6kN. 规定稳定安全系数 nst = 8-10 . 校核其稳定性.5,活塞杆两端简化成铰支, = 1,截面为圆形,不能用欧拉公式计算临界压力.,如用直线经验公式，查表得：,a= 461MPa,b= 2.568 MPa,
12、临界压力,活塞的工作安全因数,满足稳定性要求.,【例8】油缸活塞直经 D = 65mm，油压 p =1.2MPa.活塞杆长度 l=1250mm，材料为35钢，s =220MPa，E = 210GPa，nst = 6.试确定活塞杆的直经.,活塞杆的轴向压力,活塞杆的临界压力,用试算法求直径,（1）先由欧拉公式求直径,求得 d = 24.6mm.,取 d = 25mm,（2）用求得直径计算活塞杆柔度,由于 1，故用欧拉公式试算是正确的.,把活塞杆两端简化为铰支座.,【例9】AB杆直径 d=40mm，长 l=800mm，两端铰支. E = 200GPa. p =200MPa， s=240MPa，由A
13、B杆的稳定条件求F. （若用直线经验公式 a = 304 MPa， b =1.12 MPa ）,（1） BC杆平衡,（2） 研究AB杆,用直线经验公式,F =118kN,不能用欧拉公式,【例10】长为l、直径为d的等截面大柔度圆杆在温度为t0时安装在两固定墙面之间，此时杆不受力.已知杆材料的线膨胀系数为，若升高温度，求杆失稳时的温度t1.,（1）设杆的临界压力Fcr,（2）杆因升温引起的变形与Fcr引起的变形和为零,9-6 提高压杆稳定性的措施,减小压杆的支承长度,选择合理截面形状,改善支承端约束情况,合理选用材料,适当改善结构中杆件的工作方式,从压杆临界压力的欧拉公式： 知，,为提高压杆稳定性，可采取以下措施：,
