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1、模糊数学建模简介,孙峰 数学与信息科学学院,内容大纲,模糊数学简介 模糊数学基础知识介绍 模糊模式识别 模糊聚类分析 模糊综合评判,模糊数学简介,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,用数学的眼光划分我们身边的现象：,确定性现象：,如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；,随机现象：,如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;,模糊现象：,如 “今天天气很热”，“小伙子很高”，等等。靠模糊数学去刻画。,模糊数学是研究和处理模糊性现象（或概念）的数学方法，而不是把数学变成模模糊糊的东西，它所要处理事物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合这个概念难以
2、确定，我们称这种不确定性为模糊性。,产生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于高个子的程度为0.8, 另一个人属于高个子的程度为0.3等.,主要应用,模糊聚类分析,例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。,对所研究的事物按一定标准进行分类。,模糊模式识别,例如：苹果，有I级，II级，III级，IV级四个等级。 现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。,已知某类事
3、物的若干标准模式，给出一个具体的对象，确定把它归于哪一类模式。,模糊综合评判,例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面给出很好，较好，一般，不好四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。,根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价 。,模糊数学基础知识介绍,经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个,经典集合A，则必有 或者 ，用函数表示为：,其中,函数 称为集合A的特征函数。,非此即彼,亦此亦彼,若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0
4、来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。, 0, 1 , 0, 1 ,特征函数,隶属函数,模糊集,定义：设U是论域，称映射,确定了一个U上的模糊集合 。映射 称为 的隶属函,数， 称为 对 的隶属程度，简称隶属度。,模糊集的表示,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,表示方法1的说明,不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入,（3）向量表示法,（2）序
5、偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,例1. 有100名消费者，对5种商品 评价，,结果为：,81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好）,例2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集，u = 20 O，40 呢？札德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,则模糊集O（年老）,模糊集Y（年轻）,模糊集的运算,定义
6、：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,例3.,则：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,并交余计算的性质,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 吸收律,6. 0-1律,7. 还原律,8. 对偶律,5. 分配律,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,模糊矩阵,例如：,模糊矩阵间的关系及运算,设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,例4：,模糊矩阵的合成,定义：设 称模糊矩阵
7、,为A与B的合成，其中 。,即：,定义：,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,例5：,模糊矩阵的转置,性质：,模糊矩阵的 截矩阵,显然，截矩阵为Boole矩阵。,例6：,截矩阵的性质：,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,特殊的模糊矩阵,定义：若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义：若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩阵。,定义：若模糊方阵满足,是模糊传递矩阵。,则称A为模糊传递矩阵。,例如,定义：若模糊方阵Q，S，A满足,则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t (A)。,模糊聚类分析,聚类分析是数理统计中的一种多元分析方法，它是用数学方法定量地确
8、定样本的亲疏关系，从而客观地划分类型。,模糊聚类分析涉及事物之间的模糊界限时按一定要求对事物进行分类的数学方法。,常遇到的分类问题：根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。,模糊聚类分析预备知识,定理：,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵。,意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵， 可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当在0,1上变动时，由 得到不同的分类。,例6：设 对于模糊等价矩阵,画出动态聚类图
9、如下：,0.8,0.6,0.5,0.4,1,例7：设有模糊相似矩阵,将n阶模糊相似矩阵R改造成n阶模糊等价矩阵的方法：,模糊聚类的一般步骤,Step1：建立数据矩阵,Step2：数据标准化,（1）标准差标准化,（2）极差正规化,（3）极差标准化,Step3：建立模糊相似矩阵,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,（2）距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,（3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,Step4：聚类并画出动态聚类图,模糊传递闭包法,步骤：,模糊聚类分析 案例1,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,用
10、最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,用平方法合 成传递闭包,取 ，得,取 ，得,取 ，得,取 ，得,取 ，得,画出动态聚类图如下：,某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 所示。为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量信息仍然足够大？,模糊聚类分析 案例2,首先利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类,然后确定从哪几类中去掉几个观测站,模糊模式识别,利用已知的各类型来识别给定对象属于哪一个类型的问题,模式识别：,在模式识别中引入模糊数学方法,模糊模式识别：,介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集；
11、另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。,例1. 苹果的分级问题设论域 X = 若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = 级，级，级，级，显然，模型级，级，级，级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。,例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域 X = 各种疾病的症候 (称为症候群空间) 。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库 = 心脏病，胃溃疡，感冒，显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医
12、生诉说症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。,点对集,1. 问题的数学模型(1) 第一类模型：设在论域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF ( X )，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ?,(2) 第二类模型：设 AF ( X )为标准模式，x1, x2, , xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i =1，2， n ) ?,最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,例 选择优
13、秀考生。设考试的科目有六门 x1：政治 x2：语文 x3：数学 x4：理、化 x5：史、地 x6：外语 考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi) 的计算方法如下：,式中 i =1, 2, , n 是考生的编号，j =1, 2, ,6 是考试科目的编号， j 是第 j 个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有 四个考生 y1,
14、 y2, y3, y4，其考试成绩分别如下表,于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为： y2, y4, y1, y3.,则可以计算出,阈值原则,有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：,例如 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隶属度规定为,对于 x1 = 27 岁及 x2 = 30 岁的人来说，若取阈值1 = 0.7，,故认为 27 岁和 30
15、岁的人都属于“青年人” 范畴。,则因 Y(27) = 0.862 1，,而 Y(30) = 0.5 2,Y(30) = 0.5 = 2 ，,集对集,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问 A 属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问题 集对集。,
