一元二次方程复习(1)

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1、一元二次方程复习（1）,?,例题讲解,本章知识结构,2如何判断一个方程是不是一元二次方程判断一个方程式是不是一元二次方程，主要看它是否同时满足以下三条： （1）整式方程，即方程两边是含有未知数的整式； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可，这三个标准就是判断一个方程是不是一元二次方程的依据. 例如：方程 这样的方程都不是一元二次方程.,3一定要注意一元二次方程的二次项系数这一条件这一条件是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，也是一元二次方程的重要组成部分， 只有当 时 ， 才叫做一元二次方程； 当 时， 是一元一次方程.如果明确指出方程是一元二次方程，如：“

2、关于x的 一元二次方程 ”这时题目中就隐含了 这个重要的条件，这一点学生要牢记.,一元二次方程的解法,基本解法,配方法,直接开平方法,因式分解法,公式法,平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为一元二次方程的其它解法起了一个抛砖引玉的作用. 方程两边开平方实际上是把方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化，由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本的途径. 如 或 这些类型的一元二次方程，它们的共同特点是：方程的一边是关于未知数的代数式的完全平方式，另一边是一个非负数，用直接开平方法最适合解这类一元二次方程.,1用直接开平方法最适合解哪些类型的 一元二次方程,“

3、配方法”的理论依据是完全平方公式： 对于一元二次方程 而言，要使方程左边 变成一个完全平方式，可以写成 ，对照完全平方公式可知，那么 再配上 也可以配成完全平方式，这就是方程的两边要加上一次项系数的一半的平方的原因，这样原方程就化成的形式，就可以利用直接开平方法解这个一元二次方程.,2在“配方法”中，为什么方程的两边要加上 一次项系数的一半的平方,3. 用配方法解一元二次方程的一般步骤（1）方程两边同除以二次项的系数，将二次项的系数化为1；（2）移项，使方程左边只有二次项和一次项，常数项在右边；（3） 配方，方程的两边要加上一次项系数的一半的平方，使方程做变为一个完全平方式，右边是一个常数的形

4、式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方，化为两个一元一次方程去解；（5）如果右边是负数，则原方程无解. 注意：配方时，化二次项系数为1后，方程的两边要加上一次项系数的一半的平方，将左边配成一个完全平方式，是配方法的重点.,一除、二移、三配、四化、五解.,配方法是一种重要的方法，它有广泛的应用,（1）应用于因式分解 例分解因式,（2）应用于解某些多元方程例解方程 解：分别对x、y配方，得由非负数的性质，得,（3）判断几何图形的形状例已知a、b、c是ABC的三边，且满足，求证ABC是等边三角形. 证明：由已知在等式的两边乘以2，得拆项、配方得由非负数的性质，得ABC是等边三角形.,例如：先用配

5、方法说明：不论x取何值，代数式 值总大于0，再求出当x取何值时，代数式 的值最小？最小值是多少？,（4）求代数式的最大值或最小值,略解：,最小值是,4.用公式法解一元二次方程的步骤:,化方程为一般形式; 确定 的值； 计算 的值； 代入公式并化简； 写出两个方程根 .,（1）把一元二次方程化为一般形式，正确地确定a、b、c的值(二次项系数一般化为正数)； （2）方程 不一定有实数解，若 方程有两个实数根； 若 方程没有实数根.,运用求根公式求一元二次方程的根， 应注意：,（3）公式法解一元二次方程是一种万能的方法，适用于任何一个一元二次方程。,根的判别式有以下应用： （1）不解一元二次方程，判

6、断根的情况； 例1已知：a、b、c是三角形的三条边的长，那么 的根的情况是 .,当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解. 因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”,5.因式分解法适用于什么样的方程,变式3：已知一次函数 和反比例函数 在同一坐标平面内的图象有两个交点，则m的取值范围是什么？,（2）根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围；例2若关于 x的方程 有两个实数根，则m的取值范围是什么？ 变式1：若关于x的一元二次方程 有实数

7、根，则m的取值范围是什么？ 变式2：若关于x的方程 有实数根，则m的取值范围是什么？,3已知,是方程,的一个解，则,的值是_.,解:,是方程,是方程,的一个解，,2(06天津) 已知关于x的方程 x2（a2）xa2b0的判别式等于0，且x,是方程的根，则ab的值为 _.,解:x2（a2）xa2b0的判别式等于0方程有两个等根,即,1.（06泉州）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 .,2006中考题选讲,解：,当边长为3时，3+3=6， 不能组成三角形，舍去,当边长为4时，4+46， 能组成三角形.,故菱形ABCD的周长为16,7、帮助学生进行整

8、理归纳,（3）当因式分解有困难时，就用公式法或配方法。（如果把方程化为一般形式后，它的二次项系数为1，一次项系数是偶数，用配方法更好）公式法或配方法适应于任何一个一元二次方程,（2）如果缺常数项，常用因式分解法。,（4）在解方程时，应注意方程的特点，合理选择简捷的方法。,（1）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法来解（形如 的方程）。,例 如果x1，x2是方程 的两个根，那么 = , = ；,=_,=_,已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_ 它的另一个根_.,在使用韦达定理解题时， 要以判别式 非负为前提条 件，否则容易出错,1用配方法、因式分解法等解一元二次方程时，要通过适当

9、的变形先使方程转化为一元一次方程，也就是使未知数从二次变为一次。一元二次方程的降次变形，是由一个二次方程得到两个一次方程，因此一个一元二次方程有两个根。. 2配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。,教学中应反复指出学习一元二次方程的解法 时要了解以下两点：,因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法等）; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.因式分解的方法,突出了转化的思想方法 “降 次”,鲜明地

10、显示了“二次”转化为“一次”的过程.,二次项系数是1的尽量让学生掌握,因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法等）; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.因式分解的方法,突出了转化的思想方法 “降 次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.,二次项系数是1的尽量让学生掌握,三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。,三角形 中位线定理：,用符号语言表示， 在ABC中，D,E分别是AB,BC边的中点，则DEBC, 且DE= BC.,例1

11、. 已知:如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论.,依次连接任意一个四边形各边中点的四边形叫做中点四边形.,平行四边形的中点四边形是什么四边形？矩形的中点四边形是什么四边形？ 菱形呢？正方形呢？,探究1,请你画出图形，判断并证明你的结论.,结论： 平行四边形的中点四边形是平行四边形； 矩形的中点四边形是菱形； 菱形的中点四边形是矩形； 正方形的中点四边形是正方形.,思考：中点四边形的形状与四边形中的什么因素有关？,探究2,四边形的中点四边形的形状与四边形的对角线有什么关系？,（1）顺次连结任意四边形各边中点构成的四

12、边形是 ； （2） 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点, 构成的四边形是 ；（3）顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是 .,平行四边形,菱形,矩形,经过研究我们发现，当原四边形具备：(1)对角线相等，则中点四边形是菱形；(2)对角线互相垂直，则中点四边形是矩形；(3)对角线互相垂直且相等，则中点四边形是正方形.,快速口答： 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是_ 顺次连结矩形各边中点构成的四边形是_ 顺次连结菱形各边中点构成的四边形是_ 顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是_ 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是_,例2、四边形ABCD的对角线ACBD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点 判断四边形EFGH的形状，并证明.,