《2013届高考数学考点回归总复习《第三十四讲基本不等式及其应用》课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013届高考数学考点回归总复习《第三十四讲基本不等式及其应用》课件（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三十四讲 基本不等式及其应用,回归课本 1.算术平均数 如果a,bR+,那么 叫做这两个正数的算术平均数. 2.几何平均数 如果a,bR+,那么 叫做这两个正数的几何平均数.,3.重要不等式 如果a,bR,则a2+b22ab(当且仅当a=b时,取“=”); 均值定理:如果a,bR+,那么 (当且仅当a=b时,取“=”). 均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.,5.已知x、y都是正数,则 (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取最大值 (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定
2、值,则可求其和的最小值.应用此结论要注意三个条件;“一正二定三相等”,即: 各项或各因式为正;和或积为定值;各项或各因式都能取得相等的值.,考点陪练 1.函数y=log2x+logx2的值域是( ) A.(-,-2 B.2,+) C.-2,2 D.(-,-22,+) 答案:D,2.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为( )答案:A,答案:C,答案:B,答案:D,类型一 证明不等式 解题准备:证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点:(1)均值不等式成立的前提条件;(2)通过加减项的方
3、法配凑成算术平均数、几何平均数的形式;(3)注意“1”的代换;(4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.,【典例1】证明:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c). 分析利用a2+b22ab(a,bR)求证即可. 证明a4+b42a2b2,b4+c42b2c2, c4+a42c2a2, 2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2, c2a2+a2b22a2bc, 2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc), 即
4、a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c). 即原命题可得证.,类型二 求最值 解题准备:1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最值. 2.应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:,类型三 利用均值不等式解应用题 解题准备:均值不等式作为求最值的常用工具,经常在有关最优解的实际问题中应用.应用均值不等式解决实际问题的基本步骤是:仔细阅读题目,透彻理解题意;分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其它的变量,把要求最值的变量设为函数;应用均值不等式求出函数的最值;还原实际问题,作出解答.,【典例3】某工厂拟建一座平面图为矩形且面
5、积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16 m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.,反思感悟不等式应用的特点是:(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价税收销售市场信息”等,题目往往篇幅较长.(2)建立函数模型常见的有“正(反)比例函数一次函数二次函数指数函数对数函数三角函数,以及 ”等形式.解函数应用题中的最值问
6、题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决.,错源一 忽视等号成立的条件,剖析解法一和解法二的错误原因是等号同时成立的条件不具备,因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件,只有等号成立时,所求出的最值才是正确的.,错源二 忽视均值不等式应用条件致误,答案(-,-13,+),技法一 快速解题(三角换元) 【典例1】已知a、b、c、dR,x、yR+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2. 求证:xyac+bd. 快解联想到圆的参数方程,设a=xcos,b=xsin,c=ycos,d=ysin,则ac+bd=xycoscos+xysinsin=xycos(-)xy. 另解切入点有a2+b2、c2+
7、d2的形式出现,就可以用a2+b22ab.由于a、b、c、dR,故ac+bd可能为正,也可能为负.当ac+bd0的情况.,证明证法一: 当ac+bd0时,显然有xyac+bd成立. 当ac+bd0时, x2y2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,即xyac+bd.,证法二: 当ac+bd0、-1cos(-)1就行了. 得分主要步骤本题证明步骤简单,但需考虑ac+bd或正或负的两种情况.若ac+bd0,则(ac+bd)2与x2y2的大小不能确定,证题时需注意此处. 易丢分原因没有考虑到ac+bd0还是ac+bc0.,技法二 如何解决含有多个变量的条件最值问题 求解含有多个变量的条件最值问题,一般方法是利用给出的条件,通过代换减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决.如果条件等式中含有两个变量的和与积的形式,可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,根据已知变量的取值范围,利用根的分布解决问题.,方法与技巧本题是一道条件下求代数式的最值的问题.解题思路是利用给出的条件,用a来表示b,从而在所求问题中消去b,利用均值不等式转化成函数的最值求解.,
