《【学海导航】2015届高考数学11.10圆锥曲线的综合应用复习课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【学海导航】2015届高考数学11.10圆锥曲线的综合应用复习课件理（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.10 圆锥曲线的综合应用,1.已知R,则不论取何值，曲线C： x2-x-y+1=0恒过定点( ) A. (0,1 ) B.(-1,1) C. (1,0) D.(1,1),D,解析：由x2-x-y+1=0，得(x2-y)-(x-1)=0. 依题设 x2-y=0x-1=0,即x=1，y=1, 可知不论取何值，曲线C过定点(1,1).,2.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( ) A.(3,3) B.(2,2) C. D.(0,0) 解析：如图，根据抛物 线的定义可知|PF|等于点 P到准线l的距离|PQ|.则
2、当 A、P、Q三点共线时 |PA|+|PF|最小，此时，可求得P(2,2).,B,3.抛物线y2=12x与直线3x-y+5=0的最近距离为( ) A. B. C. D. 解析：解法1：代数法.抛物线上的点 到直线的距离故选B.,B,解法2：几何法.设与3x-y+5=0平行的抛物线的切线方程为3x-y+t=0，代入抛物线方程得y2-4y+4t=0, =16-16t=0，所以t=1.从而切线方程为3x-y+1=0. 直线3x-y+5=0与3x-y+1=0之间的距离即为所求最近距离，为,4.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则POQ的面积为
3、定值 .,1,解析：如图， 双曲线x2-y2=4的两条渐 近线为y=x,即xy=0， 设P在另一条渐近线上 的射影为R，则所以,1.基本概念 在圆锥曲线中，还有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.,而当某参数取不同值时，某几何量达到最大或最小，这就是我们指的最值问题.曲线遵循某种条件时，参数有相应的允许取值范围，即我们指的参变数取值范围问题. 2.基本求法 解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体，以函数、不等式、导数等知识为背景，综合解决实际问题，其常用方法有两种：,(1)代数法：引
4、入参变量，通过圆锥曲线的性质，及曲线与曲线的交点理论、韦达定理、方程思想等，用变量表示(计算)最值与定值问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、定值； (2)几何法：若问题的条件和结论能明显的体现几何特征，利用图形性质来解决最值与定值问题.,在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题，解法通常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，
5、则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域.,考点1：定点、定值问题 例题1：已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动点，且满足|PA|BA|=PBAB. (1)求点P的轨迹C的方程；,解析：(1)设P（x,y),则PA=（1-x,-y), PB=(-1-x,-y),AB=(-2,0),BA=(2,0). 因为|PA|BA|=PBAB， 所以 即y2=4x, 所以点P的轨迹C的方程为y2=4x,（2）已知点M(m,2)在曲线C上，过点M作直线l1、l2与C交于D、E两点，且 l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2=2,求证：直线DE过定点，并求此定点. 解析：证明：由(1)知M(1,
6、2)， 设D 所以,整理得(y1+2)(y2+2)=8.所以 由知 所以直线DE的方程为整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0, 即 即(x+1)k-(y+2)=0, 所以直线DE过定点(-1,-2).,点评：与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量，将题设转化为坐标关系式，然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时，坐标关系式恒成立的条件，而获得定点坐标.,拓展训练：如图，F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线C的两焦点，其一条渐近线方程为 ，A1、A2是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线A1P,A2P交直线 分别于M、N两点. (1)求双
7、曲线C的方程；,解析：(1)由已知， 又c2=a2+b2， 所以 所求双曲线C的方程为,（2）求证：F1MF2N是定值.证明：设P的坐标为(x0,y0),M、N的纵坐标分别为y1、y2, 因为A1(-2,0),A2(2,0), 所以A1P=(x0+2,y0),A2P=(x0-2,y0), A1M=( y1),A2N=( y2). 因为A1P与A1M共线，,所以 同理 因为 所以,为定值.,考点2：最值与范围问题 例题2：设F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点. (1)若P是该椭圆上的一个动点， 求PF1PF2的取值范围；,解析： （1）由方程易知 所以 设P(x,y)， 则PF1PF2=因为x-
8、2,2，所以0x2， 故PF1PF2-2,1.,(2)设过定点M（0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解析:显然直线x=0不满足题设条件， 可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). 联立方程组 y=kx+2消去y整理得,所以 由 解得 或 又00， 得OAOB0, 所以OAOB=x1x2+y1y20.,又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4所以即k2b0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且OPOQ=0(O为坐标原点). (1)求证： 等于定值；,解析: (
9、1)证明：由 b2x2+a2y2=a2b2x+y-1=0, (a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0. 由0 a2b2(a2+b2-1)0, 因为ab0，所以a2+b21. 设P（x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2是的两根，,所以 由OPOQ=0得,x1x2+y1y2=0, 即 2x1x2-(x1+x2)+1=0, 将代入得，a2+b2=2a2b2, 所以 为定值.,(2)若椭圆离心率 时，求椭圆长轴长的取值范围.解析：由（1）a2+b2=2a2b2 得2-e2=2a2(1-e2)， 所以 又 所以 长轴,点评：本题综合考查直线与椭圆的位置关系及定值问题和取值范围问题.考查
10、运算能力、思维能力及综合分析问题的能力.,抛物线有光学性质，由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线的对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p0),一光源在点 处，由其发出的光线沿平行 于抛物线的对称轴的方向射 向抛物线上的点P,折射后又 射向抛物线上的点Q，再折 射后，又沿平行于抛物线的 对称轴的方向射出，途中遇 到直线l:2x-4y-17=0上的点N，再折射后又射回点M.,(1)设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),证明：y1y2=-p2;解析：证明： 由抛物线的光学性质及题意知， 光线PQ必过抛物线的焦点 设直线PQ的方程为,由式得 将其代入抛物线的方程y2
11、=2px中,整理得 由韦达定理得y1y2=-p2. 当直线PQ的倾斜角为90时， 将 代入抛物线方程得y=p, 同样得到y1y2=-p2.,(2)求抛物线的方程； 解析：设光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称. 设点 关于l的对称点为M(x,y), 则,解得直线QN的方程为y=-1, Q点的纵坐标为y2=-1. 由题设P点的纵坐标为y1=4, 由(1)知y1y2=-p2,则4(-1)=-p2,得p=2, 故所求抛物线的方程为y2=4x.,（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由. 解
12、析:将y=4代入y2=4x得x=4， 故P点的坐标为（4，4）. 将y=-1代入直线l的方程2x-4y-17=0, 得 故N点的坐标为,由P、N两点坐标得直线PN的方程 为2x+y-12=0. 设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1), 则,解得即M1 的坐标是抛物线方程y2=4x的解， 故抛物线上存在一点 与点M关于直线PN对称.,点评：本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力.对称问题是直线方程的一个重要应用.对称问题常有：点关于直线对称，直线关于直线对称、圆锥曲线关于直线对称，圆锥曲线关于点对称问题，但解题方法是一样的.,1.若探究
13、直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为f(x,y)+g(x,y)=0(其中为参变数)，由 f(x,y)=0g(x,y)=0确定定点坐标.,2.在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形. 3.解析几何中的最值问题，或数形结合，利用几何性质求得最值，或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数，然后应用代数方法求得最值.,已知双曲线 过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.错解：过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求. 设过点P的直线方程为y-1=k(x-1)， 代入 并整理得,易错点：忽略隐含条件,(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0. 所以 又因为x1+x2=2,所以 解得k=2， 故直线方程为y=2x-1,即直线是存在的.错误分析：未考虑隐含条件“0”.,
