赌徒输光问题

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1、赌徒输光问题 马尔科夫链求解,杨阳 肖瑞 王明仪,Content,问题简介,2014.11.07,Part one,问题简介,在“公平”的赌博中, 任 一 个拥有有限赌本的赌徒,一次赌博中, 任意一个赌徒都有可能会赢。 谁输谁赢是偶然的。,一直赌下去,输光,Part two,马尔可夫链,马尔可夫链,因安德烈马尔可夫(A.A.Markov,18561922)得名,是数学中具有马尔可夫性质的离散事件随机过程。该过程中,过去的状态(即当前以前的历史状态)对于预测将来(即当前以后的未来状态)是无关的。,科学中的大量问题都可归结为随机游动问题。赌徒输光问题:即具有两个吸收壁的随机游动问题作了几点讨论,计

2、算了赌徒输光的概率,0,1,2,N-1,N,q0,q1,qn-1,q2,qn-2,pn,rn-1,r2,p2,p1,ro,r1,rn,设E=0,1,2.,N,图为其状态转移图,一步转移概率为,(1)ro=1,q0=0,rn=1,pn=0,pi+ri+qi=1,i=1,2,.,n-1该随机游走被称为具有两个吸收壁的随机游动 (2)ro=0,q0=1,rn=0,pn=1,pi+ri+qi=1,i=1,2,.,n-1该随机游走被称为具有两个反射壁的随机游动 (3)ro0,q00,pi+ri+qi=1,i=1,2,.,n-1该随机游走被称为具有两个弹性壁的随机游动,Part Three,赌徒输光,赌徒

3、输光问题:两个赌徒甲、乙进行一系列赌博。在每一局中甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为q,p+q=1,每一局后,负者要付一元给胜者。如果起始时甲有资本a元,乙有资本b元,a+b=c,两个赌徒直到甲输光或乙输光为止,求甲输光的概率,我们以Xn表示赌了n局后手中的赌金。 可以看出,这是一个齐次马尔科夫链,状态空间为E=0,1.,c,转移矩阵为:,由于终止条件为输光,所以还有P00=1,Pcc=1. 显然,0、c为吸收状态,其余为非常返态状态 简记从状态i到状态c的概率为,根据条件概率,有,化简该式子,并采用递推的方法:,由此可推出:,=,根据上述等式,我们知道,当两人进行公平赌博时,赌徒甲、乙输光的概率分别为b/(a+b)和a/(a+b) 这表明谁的初始赌本大谁就处于有利的地位。,由此可推出:,甲、乙输光的概率分别为b/(a+b)和a/(a+b),结论: 1、若甲乙赌金相同,每局取胜概率均相等,则输光的概率也相等。 2、若甲乙每局取胜概率相等,则谁的赌金多谁赢的概率就大。,由此可推出:,甲、乙输光的概率分别为b/(a+b)和a/(a+b),结论:3、对手赌金无限。徒必输光,即所谓“十赌九输”。,Thank you for attention!,

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