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1、内容回顾,相似矩阵:存在可逆P,使得,A与B相似,A与B的特征多项式相同,特征值亦相同。,(充要条件) A有n 个线性无关的特征向量。,(充分条件) A有 n 个互不相等特征值。,A相似于对角阵,A是 n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使,其中 是以A的 n 个特征值为对角元素 的对角阵。,对称矩阵化对角阵的基本步骤:1 求A的特征值(共 n 个,重根按重数计算); 2 求各特征值对应的特征向量;3 (在正交化、单位化后)写出正交矩阵P;,则二次型可以记为,二次型,总有正交变换 ,使 化为标准形其中 是 的矩阵 的特征值。,定理 任给实二次型,例2, 写出二次型的矩阵A(一定是对称阵)
2、; 求A的特征值(共 n 个,重根按重数计算); 求各特征值对应的特征向量; (在正交化、单位化后)写出正交矩阵P; 写出二次型的标准形及所用的正交变换。,注 此类习题是本章的基本题型之一,要求大家必 须掌握,其解法步骤如下:,求一个正交变换把下列二次型化为标准形。,解 二次型的矩阵为,它的特征 多项式为,于是A的特征值为,对于,解方程组,可得正交的基础解系,得基础解系,单位化得,对于,解方程组,单位化即得,于是,正 交变换为,标准形为,6 化二次型为标准形的其它方法,用正交变换化二次型为标准形,其特点是保 持几何形状不变,问题 有没有其它方法,也可以把二次型化 为标准形?,问题的回答是肯定的
3、。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,1. 若二次型含有 的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同 样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线 性变换,就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤:,拉格朗日配方法可以分为两种情形:1)二次型中含有平方项;2)二次型中不含平方项。,2. 若二次型中不含有平方项,但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方 法配方.,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项,所以,再配方,得,所用变换矩阵为,7 正定二次型,试回答下列问题: 二次型的标准形是否唯一? 用正交变换法得到的标准形是否唯
4、一? 标准形中所含 (非零)的项数是否确定?,答:1 不唯一,这从配方法所得的标准形即可知。2 除顺序可能不同外,唯一。3 确定,为二次型的秩。,一个实二次型,既可以通过正交变换化为标 准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形 中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的秩,下面我们来研究二次型的标准形所具有的性质,为正定二次型,为负定二次型,例如,证明,充分性,故,必要性,故,推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是: 的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是: 的各阶主子式为正,即,对称矩阵 为负定的充分必要
5、条件是:奇数阶主 子式为负,而偶数阶主子式为正,即,正定矩阵具有以下一些简单性质,1 证明:若A正定,则 也正定。,证 因为 A 正定,故A的 n 个特征值皆大于零,,从而,中每一个矩阵的 n 个 特,征值也全部大于零。(为什么?),于是,由推论知,为正定的。,2 证明 :若A、B皆正定,则A+B也正定。,证 对于任意,由于A、B皆正定,知,从而,由定义,即A+B是正定的。,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵,,解,第五章 小 结,概念:内积、正交、特征值、特征向量、正交矩阵相似矩阵、对角化、二次型、标准
6、形、正定矩阵,习题类型 1 施密特正交化过程 2 方阵的特征值、特征向量的讨论 3 用正交阵化对称阵为对角阵(或用正交变换化二次型为标准形。) 4 用配方法化二次型为标准形 5 判别二次型(或对称阵)的正定性,1、若二次型,是正定的,则t的取值范围是 。,2、设A是3阶矩阵,其特征值为1,-1,2,则 A2+3A-2E的特征值为 。,2,- 4,8,3、设矩阵,相似,则,。,0,证 反证)若,是A的特征向量,设对应的,,即,特征值为,此即,矛盾。,于是,解 与二次型对应的矩阵为,标准形所对应的矩阵为,从而,单位化后的向量记为,由,得特征向量,,特征值为1,2,5。,又记,,由,得特征,则所求的
7、正交变换为,,由,得特征向量,向量,6 设三阶实对称矩阵A的特征值为6,3, 3, 与特征值6对应的特征向量为p1 =(1 1 1)T , 求A。,解 先求出与 3对应的特征向量,由A的不同特征值所对应的特征向量正交,考虑方程组:,取基础解系,正交化,单位化,构造正 交矩阵,满足:,于是,7 设A为n阶可逆矩阵,且每一行元素之和皆等于d, 试证(1)d是A的特征值;(2)A的逆也是各行元素之和皆相等的矩阵。,证,故,由题知,故有,这表明,的各行元素之和相等,皆为 .,证毕,复 习 要 点,第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算 第二章 求矩阵的逆、秩、伴随矩阵的性质用矩阵的初等变换解题。 第三章 向量的线性相关性讨论、向量组的秩的讨论 第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、(齐次或非齐次解的结构的讨论) 第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交矩阵化实对称阵为对角阵(或用正交变换化二次型为标准形)、正定性判别,