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1、1,第二章 一元线性回归模型,2,主要内容,回归分析概述 双变量线性回归模型的参数估计 双变量线性回归模型的假设检验 双变量线性回归模型的预测 案例,3,2.1 回归分析概述,一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数（PRF） 三、随机扰动项 四、样本回归函数（SRF）,4,一、变量间的关系及回归分析的基本概念,1. 变量间的关系 （1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。,一个（或多个）变量的变化能完全决定另一个变量的变化： 利息率一定，存入本金与到期本息,5,存在密切联系但并非完全决定 居民收入与消费密切相关，但不能完全决定消费 广告费支出与销售额密切相
2、关，但不能完全决定销售额,（2）统计依赖或相关关系（非确定性关系）：研究的是非确定现象随机变量间的关系。,6,回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。这里：前一个变量被称为被解释变量（Explained Variable）或因变量（Dependent Variable），后一个（些）变量被称为解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。,2、回归分析的基本概念,7,回归分析构成计量经济
3、学的方法论基础，其主要内容包括： 根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程； 对回归方程、参数估计值进行检验； 利用回归方程进行分析、评价及预测。,8,二、总体回归函数,回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。,9,10,在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（population regression curve）。,称为（双变量）总体回归函数（populati
4、on regression function, PRF）。,相应的函数：,11,含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。,函数形式：可以是线性或非线性的。,如，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:,为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regression coefficients）。,12,三、随机扰动项,总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，家庭平均的消费支出水平。 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。 称为观察值围绕它的期望值的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰
5、项（stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）。,13,E(Y|Xi)称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分； 其他为随机或非确定性（nonsystematic)部分ui。,14,称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。,15,随机误差项主要包括下列因素： 在解释变量中被忽略的因素的影响； 变量观测值的观测误差的影响； 模型关系的设定误差的影响； 其他随机因素的影响。
6、 随机干扰项的意义 将各种次要变量作了综合处理，保证了分析的可操作性。,16,四、样本回归函数（SRF）,问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 例：在总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？,家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本,Y,8,00,1100,1400,1700,2000,2300,2600,2900,3200,3500,X,594,638,1122,1155,1408,1595,1969,2078,2585,2530,该样本的散点图（scatter diagram)：,画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自
7、总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线（sample regression lines）。,18,记样本回归线的函数形式为：,称为样本回归函数（sample regression function，SRF）。,19,样本回归函数的随机形式/样本回归模型：,样本回归函数也有如下的随机形式：,由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sample regression model）。,式中，,i,e,称为,（样本）残差,（或,剩余,）,项,（,residual,），代表,了其他影响,的随机因素的集合，可看成是,的估计量,。,回归分析的主要目的：根据样本回
8、归函数SRF，估计总体回归函数PRF。,根据,估计,21,2.2 双变量线性回归模型的参数估计,一、参数的普通最小二乘估计（OLS） 二、双变量线性回归模型的基本假设 三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计,23,回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。 估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。 为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。 实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。,24,一、参数的普通最小二乘估计（OLS
9、）,给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差（残差）的平方和最小。,25,最小二乘法的思路,为了精确地描述Y与X之间的关系，必须使用这两个变量的每一对观察值（n组观察值），才不至于以点概面（做到全面）。 Y与X之间是否是直线关系（用协方差或相关系数判断）？若是，可用一条直线描述它们之间的关系。 在Y与X的散点图上画出直线的方法很多。 找出一条能够最好地描述Y与X（代表所有点）之间的直线。问题是：怎样算“最好”？ 最好指的是找一条直线使得所有这些点到
10、该直线的纵向距离的和（平方和）最小。,26,最小二乘法的思路,27,最小二乘法的思路,纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟合不好，差异小拟合好，所以称为残差、拟合误差或剩余。 将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。拟合直线在总体上最接近实际观测点。 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直线问题转换为求误差平方和最小的问题。,28,数学形式,29,得到的参数估计量可以写成：,称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的，故称为普通最小二乘估计量（ordinary least square
11、s estimators）。,其中,例2：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。,31,因此，由该样本估计的回归方程为：,32,模型解释变量和误差项ui的假定条件如下:(1) ui 是一个随机变量，ui 的取值服从概率分布。 (2) E(ui) = 0。 (3) ui 具有同方差性。 D(ui) = Eui - E(ui) 2 = E(ui)2 = 2。 (4) ui为正态分布（根据中心极限定理）。 以上四个假定条件可作如下表达。ui N (0, ),二、线性回归模型的基本假设,33,(5) ui 非自相关。Cov(ui, uj) = E
12、(ui - E(ui) ) ( uj - E(uj) ) = E(ui, uj) = 0，(i j )。(6) xi是非随机的。(7) ui 与xi 相互独立。Cov(ui, xi) = E(ui - E(ui) ) (xi - E(xi) ) = Eui (xi - E(xi) = Eui xi - ui E(xi) = E(ui xi) = 0.(8) 对于多元线性回归模型，解释变量之间不能完全相关或高度相关（非多重共线性）。在假定（1），（2） ，（6）成立条件下有E(yi) = E(0+1 xi+ui) = 0+1 xi,34,同方差,35,异方差,36,三、最小二乘估计量的性质,当模
13、型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。,一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：（1）线性，即它是否是另一随机变量的线性函数；,37,（2）无偏性，,无偏性意味着这两个估计量没有高估或低估的系统倾向。,即估计量的均值或期望值是否等于总体的真实值；,38,（3）有效性，即估计量在所有线性无偏估计量中具有最小方差。,含义：估计量方差与随机项方差、自变量取值范围、样本量等有关。,39,这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator
14、, BLUE）。,高斯马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。,40,四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计,41,2. 随机误差项u的方差2的估计,由于随机项ui不可观测，只能从ui的估计残差ei出发，对总体方差进行估计。 2的最小二乘估计量为,它是关于2的无偏估计量。,42,43,2.3 双变量线性回归模型的统计检验,一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间,44,如果Yi=i 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。,45,对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差
15、的平方和,可以证明：,即 TSS=ESS+RSS,46,TSS=ESS+RSS,总体平方和（Total Sum of Squares）,回归平方和（Explained Sum of Squares）,残差平方和（Residual Sum of Squares ）,47,Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一部分则来自随机势力(RSS)。,在给定样本中，TSS不变， 如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重越大，因此 拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差TSS,48,2、判定系数R2统计量,称 R2 为（
16、样本）判定系数/可决系数（coefficient of determination)。,判定系数的取值范围：0，1R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高。,49,拟合优度（或称判定系数、决定系数）,判定系数只是说明列入模型的所有解释变量对应变量的联合的影响程度，不说明模型中单个解释变量的影响程度。 对时间序列数据，判定系数达到0.9以上是很平常的；但是，对截面数据而言，能够有0.5就不错了。,50,判定系数达到多少为宜？,没有一个统一的明确界限值； 若建模的目的是预测应变量值，一般需考虑有较高的判定系数。 若建模的目的是结构分析，就不能只追求高的判定系数，而是要得到总体回归系数的可信任的估计量。判定系数高并不一定每个回归系数都可信任；,
